ecuaciones

Sistemas de Ecuaciones

Introducción:
Generalmente: a, b, c, d, … son constantes  números
X, y, z, w, …son incógnitas  variables.
Para resolver un sistema de ecuaciones, debo tener el mismo número de
ecuaciones que el mismo número de incógnitas.
Tipos de ecuaciones:
Y
1

Una ecuación lineal con una incógnita
0 = ax + b



x = - b/a

y = ax + b  función lineal

x(-b/a,0)

Una ecuación cuadrática con una
incógnita

2

Y

0  ax 2  bx  c

y  ax 2  bx  c  Función cuadrática
(x1,0)

3

Dos ecuaciones lineales con
dos incógnitas
Son dos rectas
 a1 x  b1 y  c (1)
que se cortan

en el plano
a 2 x  b2 y  c 2 (2)
cartesiano.

4

Y

l2
pI (xI , yI )

l1

Tres ecuaciones lineales con
tres incógnitas

 a1 x  b1 y  c1 z d 1 (1)

a 2 x  b2 y  c 2 z  d 2 (2)
 a x  b y  c z  d (3)
3
3
3
 3

(x2,0)

Son tres
planos que
se cortan
en el
espacio.

X

Z

pI (xI , yI z I )

X
Y

X

ECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA
Ejemplo 1: Resolver para x. (Hallar los valores de x que satisfacen la
ecuación original):
a) 5x+{-2x+(-x+6)}=18-{-(7x+6)-(3x-24) }
Solución: 5x+{-2x-x+6}=18-{-7-6-3x+24}  5x-2x-x+6 = 8+7x+6+3x-24
 5x-2x-x-7x-3x = 18+6-6-24  -8x = -6  x =-6/(-8)  x = +3/4

b) (3x  1) 2  3(2 x  3) 2  42  2 x( x  5)  ( x  1) 2
Solución : 9 x 2  6 x  1  3(4 x 2  12 x  9)  42  2 x 2  10 x  x 2  2 x  1
 9 x 2  6 x  1  12 x 2  36 x  27  42  2 x 2  10 x  x 2  2 x  1
 9 x 2  6 x  12 x 2  36 x  2 x 2  10 x  x 2  2 x  1  1 27  42
 34 x  17  x 

 17
 x  1/ 2
 34

x  1 2x  1 4x  5
(se saca un denominador común para ambas


40
4
8
Solución:
partes de la ecuación)

c) 2 

80  x  1  102 x  1  54 x  5
 80  x  1  20 x  10  20 x  25
40
  x  10  25  80  1   x  66  x  66

d)

x2
x 1
4
 2
 2
; x  3, x  3, x  1
x 2 2 x  3   9  4 x  3
x
x 




 x  3  x 1

Solución :

 x 3  x  3 

 x 3  x 1

( x  2)( x  3)  ( x  1)( x  1)  4( x  3)
( x  3)( x  1)( x  3)

x 2  5 x  6  x 2  1  4 x  12   5 x  4 x  12  6  1
  9 x  5  x  5 / 9

SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

Una ecuación con dos incógnitas y de grado 1; o sea de la forma
ax +by + c = 0; donde “x” y “y” son las variables o incógnitas; y a, b, c
son constantes, es una ecuación lineal, o sea una línea recta en el plano cartesiano.
Cuando resolvemos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, lo que
estamos haciendo es hallar el punto donde se cortan las dos rectas.

Método de igualación: Se despeja en las dos ecuaciones la misma incógnita, y
luego seigualan, quedando una ecuación con una sola incógnita. Se
despeja la incógnita que tenga los oeficientes más pequeños.
Ejemplo : Resolver por igualación:

13  4 y

 7 x  4 y  13 (1)  x 
7
a) 
19  2 y
5 x  2 y  19 (2)  x 
5


1
2

1  2  13  4 y  19  2 y  513  4 y   719  2 y   65  20 y  133  14 y
7

5

 65  133  14 y  20 y   68 34 y  
x

13  4  (2) 13  8 21


3
7
7
7

68
 y  y  2 en 1 
34

 I 3,2

 x  6 y  27 (1)  x  27  6 y

9  3y
b) 
7 x  3 y  9 (2)  x 

7


1
2

1  2  27  6 y  9  3 y  189  42 y  9  3 y  180  45 y 
7
y  4 en 1  x  27  6  4

 I 3,4

Método de sustitución: Se despeja una incógnita en cualquierecuación (la que
se vea más fácil de despejar) y se sustituye en la otra ecuación.

Ejemplo: Resolver por sustitución:

2 x  5 y  24 (1)
a) 
 8 x  3 y  19 (2)

1  x   24  5 y 1 en 2  8  24  5 y   3 y  19   96  20 y  3 y  19




2

2

  23 y  115  y  5 en 1  x 



 24  25 1

2
2

1

 I  ,5 
2


 x  3 y  6...