ecuaciones

1.1 Resolución de ecuaciones de primer orden – Ejercicios Resueltos
ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA

1. Considere la ecuación diferencial:

a) Encuentre el dominio de la ecuación.
b) Encuentre las soluciones constantes.
c) Encuentre la solución general en forma implícita.
d) Encuentre la solución general en forma explícita.
e) Encuentre la solución particular que verifica
1)a) SOLUCIÓN: Vemos que la ecuación presentada, en el numerador es un polinomio de
grado 2 y no está restringido. Pero en el denominador hay que restringir puesto que se
puede indeterminar cuando hay un cero abajo, por tanto, el dominio de la ecuación es:

b) SOLUCIÓN: Como
, para hallar las soluciones constantes, siempre se tiene que
hacer 0 en el numerador, o sea:

Respuesta: Lassoluciones constantes son:
c) SOLUCIÓN: Para

e

,

, la ecuación diferencial se puede resolver por el

método de variables separables, o sea:

Integramos en ambos lados, con sus respectivos x e y
JALP
1

1.1 Resolución de ecuaciones de primer orden – Ejercicios Resueltos
ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA

Exponenciamos quedando así nuestra solución general en forma implícita:d) SOLUCIÓN: De la solución general en forma implícita, tenemos que despejar la
variable en funcion de , que esa será nuestra solución en forma explícita, es decir:

Por tanto, la solución en forma explícita es:

e) SOLUCIÓN: En este tipo de ejercicio, sirve para calcular la constante C, es decir, si
e

, entonces:

JALP
2

1.1 Resolución de ecuaciones de primer orden – EjerciciosResueltos
ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA

Por ende, la solución particular es de la forma:

2. Considere la ecuación diferencial

a) Pruebe que haciendo el cambio

, o sea

, y escogiendo un valor

adecuado para , la ecuación diferencial dada se transforma en la ecuación de
variables separables para
:

b) Resuelva la ecuación obtenida en (a).
2) a) SOLUCIÓN: Al hacercambio de variable, también debo hacer cambio en la
derivada, es decir:

Derivaré en ambos lados con respecto a , quedando:

Luego de haber derivado al cambio de variable, procederemos a reemplazar en la
ecuación diferencial dado:
JALP
3

1.1 Resolución de ecuaciones de primer orden – Ejercicios Resueltos
ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA

En la parte del denominador, haremos queel exponente de la variable
se transforme en esa ecuación (*), por tanto:

Por tanto al reemplazar el valor de

sea 1, para que

, la ecuación quedaría:

b) SOLUCIÓN: La ecuación obtenida en (a), se resuelve por el método de variables
separables, entonces:

Integramos en ambos lados de la igualdad:

JALP
4

1.1 Resolución de ecuaciones de primer orden – Ejercicios ResueltosECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA

Después volviendo a las variables originales

Pero con

Finalmente quedando:

La solución general de la ecuación es:

3. Considere la ecuación diferencial

a) Demuestre que el cambio de coordenadas
ecuación
en la ecuación con variables separables

transforma la

b) Encuentre las soluciones constantes y la solución general implícita de laecuación
.
c) Encuentre la solución particular de
intervalo máximo donde está definida.

que pasa por el punto

y el

3) a) SOLUCIÓN: Primero como se indica en la pregunta, haremos el cambio de variable
con:

Derivamos con respecto a

en ambos lados, quedando:

JALP
5

1.1 Resolución de ecuaciones de primer orden – Ejercicios Resueltos
ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍALuego reemplazamos en la ecuación (1):

Lo que con el cambio de coordenadas, la ecuación (1) se transformo en ésta ecuación:

b) SOLUCIÓN: Como el dominio de la ecuación (2) no está restringido (
para hallar las soluciones constantes, hacemos:

Para

,

), entonces

, la ecuación se resolverá por el método de variables separables:

Integramos en ambos lados de la igualdad:...