ecuaciones

MÉTODOS ANALÍTICOS PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS
Los métodos analíticos son los que permiten la resolución (y discusión) del sistema sin necesidad de recurrir a su representación gráfica, es decir, mediante la utilización de simples operaciones aritméticas. Los métodos analíticos, que iremos viendo uno a uno, son tres:

1. Sustitución
2. Igualación
3. ReducciónMÉTODO DE SUSTITUCIÓN:

De manera esquemática, para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de sustitución hay que seguir las siguientes fases:

i. Se despeja una de las incógnitas en una cualquiera de las ecuaciones.

ii. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación y se resuelve la ecuación de primer grado en una incógnita que resulta deesta sustitución.

iii. Una vez calculada la primera incógnita, se calcula la otra en la ecuación despejada obtenida en el primer paso.

Recuerda que, aún cuando la incógnita que se va a despejar en el primer paso puede ser cualquiera y de cualquier ecuación, es mejor, por la facilidad de los cálculos posteriores, hacer una buena elección de ambas, incógnita y ecuación. Es decir que será másfácil operar después si, por ejemplo, se elige una incógnita en una ecuación en la que "no tenga" coeficiente (es decir, que su coeficiente sea 1), ya que, en ese caso, podremos evitar el cálculo con fracciones.

EJEMPLO: X+Y = 11
3X-Y = 5

1) Despejar una incógnita en cualquiera de las ecuaciones.
Se despeja y en la primera ecuación. y = 11 – x

2) Sustituir la expresión de la incógnitadespejada en la otra ecuación.
Se sustituye la expresión de y en función de x en la segunda ecuación.
3x – y = 5
3x – (11 – x) = 5

3) Resolver la ecuación que aparece con una sola incógnita.
Se resuelve la ecuación que tiene como incógnita la x. 3x – 11 + x = 5
4x = 5 + 11
4x = 16
x = 16/4
x=4

4) Sustituir el valor hallado de esta incógnita en una expresión que permita determinar elvalor de la otra incógnita.
Se sustituye el valor de x para hallar el de y. x + y = 11
4 + y = 11
y = 11 – 4
y = 7

5) Comprobar que el par obtenido es la solución del sistema inicial.
Se comprueba que el par (4,7) es solución del sistema.

Para la 1ra. ecuación.
x + y = 11
4 + 7 = 11
11 = 11

Para la 2da. ecuación
3x – y = 5
(3*4) – 7 = 5
12 – 7 = 5
5 = 5

MÉTODO DEIGUALACIÓN:

El método de igualación consiste en una pequeña variante del antes visto de sustitución. Para resolver un sistema de ecuaciones por este método hay que despejar una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Las fases del proceso son las siguientes:

i. Se despeja la misma incógnita en ambasecuaciones.

ii. Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.

iii. Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en una de las ecuaciones despejadas de primer paso.

EJEMPLO: 2X-Y=-3
X+Y=6


1) Despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones.
Se despeja la y en la dos ecuaciones. y = 2x + 3
y = 6 – x

2)Igualar las expresiones de la incógnita despejada obteniendo una ecuación con la otra incógnita
Se igualan las expresiones de y. 2x + 3 = 6 – x

3) Resolver es esta ecuación.
Se resuelve la ecuación en x. 2x + x = 6 – 3
3x = 3
x = 3/3
x = 1

4) Sustituir el valor hallado de la incógnita en una expresión del sistema que permita determinar el valor de la otra incógnita.
Se sustituye elvalor de x en la segunda ecuación del sistema para calcular el valor de y. x + y = 6
1 + y = 6
y = 6 – 1
y = 5

5) Comprobar que el par obtenido es la solución del sistema inicial.
Se comprueba que el par (1,5) es la solución del sistema inicial.

Para la 1ra. Ecuación
2x – y = - 3
(2*1) – 5 = - 3
2 – 5 = - 3
- 3 = - 3

Para la 2da. Ecuación
x + y = 6
1 + 5 = 6
6 = 6...