Ecuaciones

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vamos a ver que, efectuando un cambio tanto de variable independiente como de
dependiente, esta E. D. se podr´a transformar en una del tipo anterior (es decir, en la
que no aparecer´a la variableindependiente). Una ecuaci´on de estas caracter´ısticas suele
decirse que es homog´enea generalizada de grado , en la que cada factor x contribuye con
grado 1, cada y con grado m, y′ con grado m− 1,y′′ con m− 2, etc´etera.
Tomamos dos nuevas variables t y z (t la independiente y z la dependiente) que
relacionamos con las originales x e y mediante x = et, y = emtz. Con esto, vamos a ver
c´omoescribir y′ = dy
dx , . . . , y(n) = dny
dxn en funci´on de t, z y las derivadas de z respecto de t.
Si denotamos z′ = dz
dt (y, por supuesto, z(k) = dkz
dtk ), tenemos
dy
dx
=
dy/dt
dx/dt=
memtz + emtz′
et = e(m−1)t(z′ +mz).
A partir de aqu´ı,
d2y
dx2 =
d
dx

dy
dx

=
d
dt

dy
dx

dt
dx
=
d
dt

e(m−1)t(z′ +mz)
 1
dx/dt
=
h
(m− 1)e(m−1)t(z′ + mz) +e(m−1)t(z′′ + mz′)
i 1
et
= e(m−2)t
z′′ + (2m− 1)z′ + m(m − 1)z

;
an´alogamente
d3y
dx3 =
d
dx

d2y
d2x

=
d
dt

d2y
d2x

dt
dx
=
d
dt

e(m−2)t(z′′ + (2m − 1)z′+m(m − 1)z)
 1
dx/dt
=
h
(m− 2)e(m−2)t(z′′ + (2m− 1)z′ + m(m − 1)z)
+ e(m−2)t(z′′′ + (2m − 1)z′′ +m(m − 1)z′)
i 1
et
= e(m−3)t
z′′′ + (3m − 3)z′′ + (3m2 − 6m+ 2)z′ + m(m − 1)(m− 2)z

,
yas´ı sucesivamente. En general, por inducci´on, es claro que
d(k)y
dx(k) = e(m−k)tgk(z, z′, . . . , z(k)).
E. D. en las que se puede reducir el orden 43
De este modo, sustituyendo en la E. D. queestamos intentando resolver, obtenemos
F(et, emtz, e(m−1)t(z′ + mz), . . . , e(m−n)tgn(z, z′, . . . , z(n))) = 0;
extrayendo  = et, esto resulta ser
e tF(1, z, (z′ +mz), . . . , gn(z, z′, . . . ,z(n))) = 0.
Como e t no puede anularse, el otro factor tiene que ser cero, luego hemos transformado
la ecuaci´on de partida en una de la forma
G(z, z′, . . . , z(n)) = 0,
en la que no aparece...
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