Ecuaciones

Conceptos Básicos
Igualdad: es una expresión que se obtiene al igualar (para ello se utiliza el signo =, que se lee, igual) dos cantidades o expresiones que tienen el mismo valor. Por ejemplo:
a+b2= a2+2ab+b2
3x+5=x+7
En una igualdad todo lo que esté a la izquierda del signo igual (=), se le llama primer miembro, y todo lo que esté a la derecha se le llama segundo miembro.
a+b2=a2+2ab+b2

Primer Miembro Segundo Miembro
Identidad: es una igualdad en la que ambos miembros son iguales para todos los valores de las variables para los cuales están definidos los miembros.
Ecuación: es una igualdad en la cual ambos miembros son iguales solo valores particulares de las variables.
Las incógnitas son variables cuyos valores son desconocidos en una ecuación, y suelenidentificarse con las últimas letras del alfabeto.

* Propiedades de las igualdades

Si a los dos miembros de una igualdad le sumamos o restamos una misma cantidad la igualdad se mantiene.
Ejemplo:
x+7=12
x+7+2=12+2
x+9=14
x=5

Si los dos miembros de una igualdad los multiplicamos o dividimos por una misma cantidad la igualdad se mantiene. (Se excluye la división por cero).Ejemplo:
x+9=12+3
x+93=12+33
(x+9)3=153
(x+9)3=5
x+9=5.3
x+9=15
x=6

Ejercicios:

* De las siguientes igualdades, determinar cuáles son identidades y cuales son ecuaciones.

a) 2x+4=8 b) 32x+23=6x-2

c) x+22= x2+4 d) x2-9= x+3x-3

Ecuaciones
Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas, sin importar el valorque tomen las variables implicadas en cada expresión (denominados miembros de la ecuación; el primer miembro es el que aparece antes del signo de igualdad, y el segundo miembro es el que aparece después de la igualdad, aunque es perfectamente válido permutarlos).

Las ecuaciones que se cumplen para un solo valor de la variable las llamamos ECUACIONES DE PRIMER GRADO o lineales. Se reconocen queson de este tipo porque el exponente de la variable es uno.  

Ejemplos: 4x + 1 = 5
x – 7 = 3
Las ecuaciones que se cumplen para más de un valor de la variable las llamamos ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR. Si el grado es:
* 2: las llamamos ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
* 3: las llamamos ECUACIONES DE TERCER GRADO y así sucesivamente.

Según esto la variable; en las Ecuaciones deGrado Superior, tendrá 2, 3, 4 valores.
Ejemplos:
x2-2x-15= 0
x2+3x= -2
x3= -8
x4-3x= 0

* Resolución de Ecuaciones

Resolver una ecuación de primer grado consiste en hallar el valor, para el cual se satisface la expresión.
Ejemplo:
2x+3=5
La solución a esta ecuación es x=1 ya que
2 . 1+3=5
2+3=5
5=5

A continuación indicamos el procedimientopara hallar la solución de las ecuaciones dando un ejemplo en cada caso:
Forma | Procedimiento | Solución | Resultado |
x+a=b
x+3=7 | Restamos a en ambos miembros.Restamos 3 en ambos miembros. | x+a-a=b-ax+3-3=7-3 | x=b-ax=4 |
x-a=bx-5=12 | Sumamos a en ambos miembros.Sumamos 5 en ambos miembros. | x-a+a=b+ax-5+5=12+5 | x=b+ax=17 |
ax=b3x=15 | Dividimos por a ambos miembros.Dividimos por3 ambos miembros. | axa=ba3x3=153 | x=bax=5 |
xa=bx8=2 | Multiplicamos por a ambos miembros.Multiplicamos por 8 ambos miembros. | xa . a=b . ax8 . 8=2 . 8 | x=b .ax=16 |

Ejemplos: Combinando los cuatros casos del cuadro resolvamos:

1) 5x-6=-24

Sumamos 6 en 5x-6+6=-24+6
Ambos miembros 5x=-18

Dividimos por 5 5x5=- 185
Ambos miembrosResultado x=-185


2) x-34=2

Multiplicamos por 4 x-34 . 4=2 . 4
Ambos miembros

Sumamos 3 en x-3+3=8+3
Ambos miembros

Resultado x=11












Ecuaciones Literales

Cuando en una ecuación...