EcuacionesDiferenciales Cap2

Cap´ıtulo

2

ECUACIONES DIFERENCIALES DE
ORDEN SUPERIOR
2.1.

INTRODUCCIÓN

Una ecuación diferencial ordinaria de orden superior es una expresión que relaciona una
variable dependiente: y y sus derivadas de cualquier orden con respecto a una variable independiente x, así:
f x, y(x), Dy(x), D2 y(x), . . . , Dn y(x) = r(x)

En donde Dy(x), D2 y(x), . . . , Dn y(x) son las derivadas de orden 1, 2,. . . , n de la función y(x).
Por analogía con las ecuaciones diferenciales de primer orden, una solución general de la
ecuación diferencial es una familia de curvas del plano que contiene n constantes arbitrarias,
así:
F (x, y, C1 , C2 , . . . , Cn )
Son ejemplos de ecuaciones diferenciales de orden superior, las siguientes:
1. y 00 (x)

xy(x) = 0

2. a2 y 00 (t) + a1 y 0 (t) + a0 y(t) = f (t)
3.y 00 (t) + 4 sin(y(t)) = 0
4. x3 y 000 (x) + ↵x2 y 00 (x) + xy 0 (x) + y(x) = f (x)
5. x2 y 00 (x) + xy 0 (x) + (x2

2

)y(x) = 0

De las ecuaciones mostradas, la tercera es no lineal y el resto son lineales. La segunda ecuación
es de coeficientes constantes y recibe el nombre de ecuación de oscilaciones.
139

140

CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

La primera ecuación es laecuación de Airy1 . La cuarta es la ecuación diferencial de Euler2 de
tercer orden y la última es la ecuación diferencial de Bessel3 .
Nuestro interés se concentrará en desarrollar métodos para resolver ecuaciones diferenciales
de orden superior, particularmente las lineales.

Primitiva de una ecuación diferencial
En el capítulo 1 se estableció que la primitiva de una ecuación diferencial deprimer orden es
una familia de curvas del plano de la forma F (x, y, C) = 0. De manera similar, una familia
de curvas del plano F (x, y, C1 , C2 , . . . , Cn ) = 0, es la primitiva de una ecuación diferencial de
orden n. La ecuación diferencial se obtiene derivando n veces y eliminando las constantes.
Ejemplo: 2.1.
constantes reales.

Considere la familia de curvas del plano 2xy

1. Representegráficamente los elementos correspondientes a:
a) a = 1, b = 1
b) a = 3, b =

1

2. Encuentre la ecuación diferencial de la familia.
3. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial.

⌥
⌅
Solución:
⌃
⇧

1. La figura 2.1 muestra las dos curvas de la familia.
2. Tomando la primera derivada, resulta:
2xy 0 + 2y

b=0

Derivando de nuevo, se tiene:
2xy 00 + 4y 0 = 0
En consecuencia, la ecuacióndiferencial de la familia es:
y 00 +
1

2y 0
=0
x

Remítase a los ejemplos 5.9 y 5.12 en las páginas 328 y 332
Remítase a la sección 5.2
3
Remítase a la sección 5.6.5
2

a

bx = 0, con: a, b

2.1. INTRODUCCIÓN

141

4
3

a =1, b =1

2
1

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-1
-2

a = 3 , b = -1

-3
-4

Figura 2.1: Elementos de la familia de curvas del ejemplo 2.1

3. La ecuación diferencial obtenida es desegundo orden pero se puede resolver mediante
las técnicas desarrolladas en el capítulo anterior, así:
y0 = p )

dp 2p
dp 2dx
+
=0)
+
=0
dx
x
p
x

Integrando se obtiene:
ln(p) = 2 ln(x) = ln(C1 ) ) px2 = C1
Finalmente, regresando a la variable y e integrando, se obtiene que la solución general
es:
y = C1 x 1 + C2
Claramente se observa que la solución hallada es equivalente a la familia dadainicialmente.
Ejemplo: 2.2.
⌥
⌅
⌃Solución: ⇧Se

Encuentre la ecuación diferencial correspondiente a la siguiente primitiva:
y = C1 e

x

+ C2 e

2x

+x

deriva dos veces la expresión así:
y 0 = C1 e x 2C2 e 2x + 1
y 00 = C1 e x + 4C2 e 2x

142

CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

La ecuación original y la correspondiente a la primera derivada conforman un sistema de dos
ecuaciones conlas incógnitas, así:



e x
e 2x
C1
y x
·
=
x
2x
e
2e
C2
y0 1
La solución del sistema se encuentra aplicando la regla de Cramer, así:

C1 =

y x
y0 1
e x
e x

e 2x
2e 2x
e 2x
2e 2x

;

C2 =

e x y x
e x y0 1
e x
e 2x
x
e
2e 2x

Al resolver los determinantes, resulta:
C1 = ex (2y 2x + y 0 1)
C2 = e2x ( y + x y 0 + 1)
Sustituyendo en la segunda derivada, resulta:
y 00 = 2y

2x + y 0

1 + 4( y...