Ecuación De Segundo Grado

Resolver una ecuación de segundo grado
Una ecuación de segundo grado es aquella ecuación en la que la incógnita está elevada al cuadrado. Pero para que esta afirmación sea cierta, la ecuación tiene que estar simplificada al máximo. Por ejemplo, la ecuación (x - 7)² - (1 + x)² = 2(3x - 4) no es de segundo grado, ya que si la simplificamos obtenemos una ecuación de primer grado: 49 – 14x – 1 – 2x= 6x – 8. Es decir, la x2 desaparece durante la simplificación. Entonces, ¿cómo podemos saber si una ecuación es de segundo grado?
1. Definición
Una ecuación de segundo grado es aquella en la que la incógnita aparece elevada al cuadrado, es decir, no tiene términos de mayor grado. Y al simplificarla, su forma más compleja siempre se podrá expresar según esta estructura: ax2 + bx + c = 0.Cuando la expresamos de esta forma, decimos que la hemos escrito en su forma general.
Notas:
—a, b y c son valores numéricos conocidos y reciben el nombre de coeficientes.
—El coeficiente a ≠ 0.
—El coeficiente c también recibe el nombre de término independiente.
—Resolver una ecuación de segundo grado consiste en encontrar las raíces del polinomio del primer miembro de la ecuación (escrita ensu forma general). En otras palabras, encontrar cuáles son los valores de x que hacen que el valor numérico de la expresión sea cero.
2. Ecuaciones de segundo grado incompletas
Al igual que sucede con los polinomios, puede ocurrir que en una ecuación de segundo grado falte alguno de sus términos. No por ello deja de ser una ecuación de grado dos, mientras conserve el término ax2. Es decir, silos coeficientes b o c toman el valor cero estaremos ante una ecuación de segundo grado incompleta.
Ecuación de segundo grado incompleta del tipo ax2 = 0. Podemos escribir esta ecuación de la forma siguiente: x · (a · x) = 0. De lo que deducimos que x = 0, o a · x = 0, y como a ≠ 0, entonces x = 0. Es decir, esta ecuación tiene dos soluciones, que son la misma: x = 0.
Ecuación de segundo gradoincompleta del tipo ax2 + bx = 0. Resolvemos sacando factor común a x; de ese modo obtenemos que x · (ax + b) = 0. Si observamos esta expresión, tenemos dos factores que multiplicados son igual a cero, por lo que tenemos dos posibles soluciones:
—que x sea cero: por lo tanto ya tenemos una de las soluciones, x1 = 0;
—que ax + b = 0: por lo que ax = –b; por lo tanto, la otra solución será:Ejemplo: resuelve la siguiente ecuación de segundo grado: 4x2 – 12x = 0.
Solución: sacando factor común a x, x · (4x – 12) = 0, de donde:

Ecuación de segundo grado incompleta del tipo ax2 + c = 0. Resolvemos despejando: ax2 = –c;
;
Por lo que obtenemos dos posibles soluciones:

Ejemplo: resuelve la siguiente ecuación de segundo grado: 7x2 – 28 = 0.
Solución:

3. Ecuación de segundo gradocompleta: Ya hemos visto que la forma general de una ecuación de segundo grado completa es ax2 + bx + c = 0.
Vamos a intentar resolverla. Para ello, vamos a realizar dos operaciones aparentemente arbitrarias, pero que tienen como objetivo dejar el primer miembro de la ecuación como el desarrollo del cuadrado de una suma. Es decir, como una expresión del tipo: a2 + b2 + 2ab.

Ejemplo 1:resuelve la siguiente ecuación de segundo grado: 6x2 – x – 1 = 0.
Solución:

Las soluciones de la ecuación 6x2 – x – 1 = 0, son:

Ejemplo 2: resuelve esta ecuación de segundo grado:

Solución:
—Simplificamos la ecuación hasta dejarla expresada en su forma general: ; x · (6x + 16) = 9 + x; 6x2 + 16x = 9 + x; 6x2 + 16x – x – 9 = 0; 6x2 + 15x – 9 = 0
—Aplicamos la fórmula:

Y obtenemos:—Las soluciones de la ecuación , son:

4. Análisis del discriminante y los tipos de soluciones de una ecuación de segundo grado
Se denomina discriminante al radicando de la fórmula general. Es decir, la expresión contenida dentro de la raíz cuadrada que forma parte de la fórmula: b2 – 4 · a · c.
El valor del radicando de la raíz cuadrada va a condicionar el posible resultado de la...