Ecuación De Tercer Grado

Ecuación de tercer grado

Una ecuación de tercer grado o ecuación cúbica con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica
Donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un campo, usualmente el campo de los números reales o el de los números complejos.
Función cúbica
La función cúbica es una función polinómica de tercer grado. Tiene la forma:
; Donde elcoeficiente a es distinto de 0.
Tanto el dominio de definición como el conjunto imagen de estas funciones pertenecen a los números reales.
La derivada de una función cúbica genera una función cuadrática y su integral una función cuartica.
El caso general
Sea un cuerpo conmutativo, donde se pueden extraer raíces, propiedad que hará posible resolver la ecuación.
En un cuerpo algebraicamentecerrado se sabe que todo polinomio de tercer grado (o ecuación cúbica) tiene tres raíces. Este es el caso, por ejemplo, del cuerpo de los números complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.
La solución de la ecuación algebraica cúbica fue dada por primera vez en el libro Ars Magna (del latín, que significa Gran Arte o Arte Magno) por el matemático italiano Gerolamo Cardano (1501-1576) quepublicó en el año de 1545, razón por la cual se le llama método de Cardano.
Los pasos de la resolución son:
• Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a (a ≠ 0). Se obtiene:
Con , , .
• Proceder al cambio de incógnita , para suprimir el término cuadrado. En efecto, al desarrollar con la identidad precedente, vemos aparecer el término , compensado exactamente por que aparece en . Seobtiene:
, con p y q números del cuerpo que tienen las siguientes expresiones

.
• Y ahora, la astucia genial: escribir . Así, la ecuación precedente da .
Desarrollando: .
Reagrupando: .
Factorizando: .
Como se ha introducido una variable adicional (u y v en vez de z), es posible imponerse una condición adicional. Concretamente:
, que implica .
• Pongamos y . Entonces tenemosy porque . Por lo tanto U y V son las raíces de la ecuación auxiliar , que se sabe resolver.
Luego y son raíces cúbicas de y (que verifican y finalmente .
En el cuerpo , si y son estas raíces cúbicas, entonces las otras son y , y por supuesto y , con , una raíz cúbica de la unidad.
Como el producto uv está fijado , las parejas posibles son , y .
Las otras raíces de la ecuación detercer grado son por lo tanto y .
Discriminante

Gráfico de una función cúbica del tipo y = K(x+4)•(x+1)•(x-2). Las raíces son los lugares donde la curva cruza el eje x (y = 0), esto es: x1 = -4, x2 = -1 y x3 = 2.
Resulta importante y a la vez esencial obtener propiedades elementales de los polinomios como herramientas de análisis en los resultados según los valores de sus coeficientes.
•Demostración del discriminante mediante transformaciones de equivalencia de la ecuación auxiliar
Trinomio cuadrado perfecto
Trasformación equivalente en
Moviendo al miembro derecho
Demostrado que cuando la ecuación posee raíces Reales dobles.
El caso real
Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El cuerpode los reales no es algebraicamente cerrado, por lo tanto, el número de raíces reales no es siempre 3. Las que faltan se encuentran en C, extensión algebraica cerrada de R. La distinción aparece cuando se sacan las raíces cuadradas en el cálculo de U y V. Las raíces cúbicas no plantean problemas.
Se demuestra que el número de raíces reales depende del discriminante de la ecuación auxiliar :
• SiΔ < 0 existe una única raíz real. Las demás son complejas conjugadas.
• Si Δ = 0 existe una raíz múltiple real: una raíz triple o una doble y otra simple, todas reales.
• Si Δ > 0 existen tres raíces reales.
Habrán notado que siempre hay por lo menos una solución real. Es debido a que las funciones polinomiales no constantes tienen límites infinitos en +∞ y -∞ y las de grado impar tienen...