ecuación diferencial de primer orden

UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIER´
IA
´
CENTRO DE DOCENCIA DE CIENCIAS BASICAS PARA INGENIER´
IA.

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
1.

Ecuaciones de Variables Separables
Una ecuaci´n diferencial de la forma
o
ψ(y)dy = ϕ(x)dx

se llama ecuaci´n de variables separadas. Mientras que ecuaciones del tipo
o
ϕ1 (x)ψ2 (y)dx = ϕ2 (x)ψ1 (y)dy
sellaman ecuaciones de variables separables1 , pues la podemos reescribir como una ecuaci´n de variables
o
separadas al dividirla por ϕ2 (x)ψ2 (y) obteniendo
ψ1 (y)
ϕ1 (x)
dx =
dy
ϕ2 (x)
ψ2 (y)

⇔

ϕ1 (x)
ψ1 (y)
dx −
dy = 0.
ϕ2 (x)
ψ2 (y)

Integrando esta ultima ecuaci´n, obtenemos
´
o
ϕ1 (x)
dx −
ϕ2 (x)

ψ1 (y)
dy = C.
ψ2 (y)

Una ecuaci´n diferencial de la forma
o

dy= f (ax + by + c)
dx
puede reducirse a una ecuaci´n de variables separables haciendo la sustituci´n z = ax + by + c. En efecto,
o
o
dz
dy
dy
1
=a+b ⇔
=
dx
dx
dx
b

dz
−a ,
dx

y reemplazando en la ecuaci´n tenemos
o
1
b

dz
−a
dx

= f (z)

dz
= bf (z) + a
dx
dz
= dx
bf (z) + a
que resulta ser una ecuaci´n de variables separadas.
o
1 Zill,

D. EcuacionesDiferenciales con Aplicaciones de Modelado. C´pitulo 2.
a

2.

Observaci´n.
o

Cuando queremos resolver la ecuaci´n y (x) = g(x)h(y) usando separaci´n de variables tenemos que tener
o
o
cuidado por si h se anula. Si h(a) = 0, entonces la funci´n constante y(x) = a verifica y = g(x)h(y).
o
Ejemplo 1 Resuelva la ecuaci´n diferencial
o
dy
= y 2 x.
dx
Soluci´n.
o
La ecuaci´n dada esuna ecuaci´n diferencial de variables separables. En efecto, dividiendo por y 2 , con
o
o
y = 0 se puede reescribir en la forma
xdx −

1
dy = 0
y2

Integrando y ordenando,tenemos ue la soluci´n explicita es
o
y(x) =

−2
, y=0
x2 + c

con c una constante real arbitraria.

3.

Ejercicios
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de variables separables

a) (1 + y 2)dx + (1 + x2 )dy = 0. R: x + y = C(1 − xy).
b) (1 + y 2 )dx + xydy = 0. R: x2 (1 + y 2 ) = C.
c) (y 2 + xy 2 )y + x2 − yx2 = 0. R:(x + y)(x − y − 2) + 2 ln

1+x
1−y

= C.

d) (1 + y 2 )dx = xdy. R:y = tan(ln Cx).
√
√
e) x 1 + y 2 + yy 1 + x2 = 0. R: 1 + x2 + 1 + y 2 = C.
√
√
f) x 1 − y 2 dx + y 1 − x2 dy = 0, y(0) = 1. R: 1 − x2 + 1 − y 2 = 1; y = 1.
g) e−y (1 + y ) = 1. R: ex =C(1 − e−y )
h) y ln ydx + xdy = 0, y(1) = 1. R:y = 1.
i) y = ax+y , a ∈ R+ \{1}. R:ax + a−y = C.
j) ey (1 + x2 )dy − 2x(1 + ey )dx = 0. R:1 + ey = C(1 + x2 ).
k) (1 + ex )yy = ey , y(0) = 0. R:(1 + y)e−y = ln

1+ex
2

+ 1 − x.

l) (1 + y 2 )(e2x dx − ey dy) − (1 + y)dy = 0. R: 1 e2x − ey − ln
2

1 + y 2 − arctan y = C.

m) (xy 2 − y 2 + x − 1)dx + (x2 y − 2xy + x2 + 2y − 2x + 2)dy =0. R:(x2 − 2x + 2)(y 2 + 1)e2 arctan y = C.
n) y = sen(x − y). R: x + C = tan(x − y) + sec(x − y).
n) y = ax + by + c donde a, b, c ∈ R. R: b(ax + by + c) + a = Cebx .
˜
o) (1 − y)ey y +

y2
x ln x

p) (1 + y 2 )dx = (y −

= 0. R: C +

ey
y

= (ln x)2 .

1 + y 2 )(1 + x2 )3/2 dy. R: ln

1+y 2
√
y+ 1+y 2

=

√ x
1+x2

+ C.

q) Utilizando la sustituci´n z = xy,transforme las siguientes ecuaciones en ecuaciones de variables sepao
rables y resuelva:
a) xy 2 (xy + y) = a2 . R: 2x3 y 3 = 3a2 x2 + C.
b) (x2 y 2 + 1)dx + 2x2 dy = 0 R:

1
1−xy

+

1
2

ln x = C.

c) (1 + x2 y 2 )y + (xy − 1)2 xy = 0 R: Cy 2 = exy−1/xy .
d) (x2 y 3 + y + x − 2)dx + (x3 y 2 + x)dy = 0 R: 3x2 − 12x + 2x3 y 3 + 6xy = C.
r) (x6 − 2x5 + 2x4 − y 3 + 4x2 y)dx + (xy 2 − 4x3)dy = 0 (utilice la sustituci´n y = zx). R:
o
y3
3

−

4y
x

s) y + 1 =

x3
3

− x2 + 2x +

= C.
(x+y)m
(x+y)n +(x+y)p .

R: x =

(x+y)n−m+1
n−m+1

+

(x+y)p−m+1
p−m+1

+ C; n − m = −1, p − m = −1.

t) (ln x + y 3 )dx − 3xy 2 dy = 0. R: y 3 = Cx − ln x − 1.

4.

Ecuaciones Homog´neas y Reducibles a Homog´neas
e
e
Una ecuaci´n diferencial de la forma
o...