EDO Ec.diferenciales

Ecuaciones Diferenciales
26 de noviembre de 2002

1

¶
Indice
1 Introducci¶n a las ecuaciones diferenciales.
o
1.1 Naturaleza de las ecuaciones diferenciales. . . . . . . . . .
1.2 Clasi¯caci¶n de las ecuaciones diferenciales ordinarias. . . .
o
1.3 Soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias . . . .
1.4 Interpretaci¶n de una ecuaci¶n diferencial de primer orden.
o
o
2M¶todos de resoluci¶n para ecuaciones
e
o
2.1 Separaci¶n de variables. . . . . . . . .
o
2.2 Ecuaciones homog¶neas. . . . . . . . .
e
2.3 Ecuaciones diferenciales exactas. . . . .
2.4 Ecuaciones lineales de primer orden. .
2.5 Curvas ortogonales. . . . . . . . . . . .
2.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . .

de
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primer orden
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.. . . . . . . .
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3 Ecuaciones lineales de orden superior
3.1 Introducci¶n. Teorema de existencia y unicidad. . . . . . . . .
o
3.2 Resoluci¶n de la ecuaci¶n homog¶nea . . . . . . . . . . . . . .
o
o
e
3.3 La ecuaci¶n homog¶nea de orden n, decoe¯cientes constantes.
o
e
3.4 La ecuaci¶n no homog¶nea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
e
3.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4 Transformada de Laplace
4.1 Introducci¶n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .
o
4.2 Condiciones de existencia de transformadas. . . . . . . . . . . . . .
4.3 Transformada de derivadas e integrales. . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Teoremas operacionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Aplicaci¶n a las ecuaciones diferenciales de coe¯cientes constantes. .
o
4.6 M¶todo de fracciones simples para el c¶lculo de la transformada ine
aversa de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Aplicaci¶n a las ecuaciones diferenciales lineales con coe¯cientes que
o
son polinomios de grado 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Otras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Ejercicios:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

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4
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5 Sistemas de ecuaciones diferenciales.
5.1 Preliminares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2 Sistemas lineales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Sistemas lineales homog¶neos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
5.4 Soluciones de un sistema no homog¶neo. Variaci¶n de los par¶metros.
e
o
a
5.5 Sistemas lineales homog¶neos de coe¯cientes constantes . . . . . . .
e
5.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

3

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Cap¶
³tulo 1
Introducci¶n a las ecuaciones
o
diferenciales.

1.1

Naturaleza de las ecuaciones diferenciales.

1.1.1 De¯nici¶n.- Una ecuaci¶n diferencial es una igualdad que involucra una
o
o
funci¶n y una o varias de sus derivadas. Si la funci¶n depende de una sola variable,
o
o
la ecuaci¶n diferencial se denomina ordinaria (EDO); sidepende de varias variables,
o
la ecuaci¶n diferencial se denomina ecuaci¶n en derivadas parciales (EDP).
o
o
Ejemplos 1:
y 0 ¡ 5y = 1
y 00 ¡ 2y 0 + 6y = 0

o
¶

y 0 ¡ xy 1=2 = 0

o
¶

(y 0 )2 + 1 = 0

dy
¡ 5y = 1
dx
d2 y
dy
¡ 2 + 6y = 0
dx2
dx
dy
¡ xy 1=2 = 0
dx
Ã
!2
dy
+1=0
dx

o
¶

o
¶

(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)

Son ecuaciones diferenciales ordinarias,...