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ICA-ICI

Prof. Cristian Carvajal M.

1

Trabajo Final de Probabilidades
De los 13 ejercicios deben realizar 10.

1. Suponga que el período X en minutos de un tipo de conversación telefónicaes una v.a con función de densidad:
fX (x) =  1 −x/5  5e  0

si si

x>0 x≤0

a ) Determine el tiempo promedio. b ) Encuentre la desviación estándar. c ) Encuentre E(x + 2)2 .

2.Compruebe que las siguientes funciones son f.d.a.
a)

1 1 + tan−1 (x); 2 π
−1

x ∈ R. x ∈ R.

b ) 1 + e−x c) e
−e−x

;

;

x ∈ R. 1 ; y2 1 ≤ y ≤ ∞, encuentre fY (y).

3. Sea FY (y) = 1 −4. La proporción de tiempo T en un día, necesaria para la mantención de una maquinaria es una v.a con f.d:
fT (t) =   K(1 − t)  0

si

0≤t≤1

e.o.c

a ) Determine el valor de K. b )Calcular E[T ] y V ar[T ]. c ) El costo (en miles de pesos) de cada interrupción está dado por C(T ) = 10 + 20T + 4T 2 . Encuentre el costo esperado.

5. Para cada una de las siguientes densidades,encuentre FX (x).

ICA-ICI

Prof. Cristian Carvajal M.

2

a ) fX (x) = 42x2 (1 − x); b ) fX (x) = 7e−7x ;

x ∈ (0, 1) .

x ∈ R+ .

6. Sea R una v.a con función de probabilidad dada porP (R = r) 0,25

r

-1

0 1 2 3 0,125 0,25 0,25 0,125

a ) Calcule P [R ≤ 2/R > 0] . b ) Sea Z = 3R + 2, determine E[Z] y V ar[Z].

7. Sea λ una constante ja positiva y sea
fX (x) =  1−λx  5 λe 
1 λeλx 5

si si

x≥0 x 0. 3 b ) fX (x) = (x − 1)2 ; 0 < x < 2. 2

11. Sea µn el n-ésimo momento centrado en el valor esperado, y sean
α3 = µ3 (µ2 )3/2

y

α4 =

µ4 , (µ2 )2calcular :
a ) α3 para fX (x) = e−x ; x ≥ 0. 1 2 b ) α4 para fX (x) = √ e−x /2 ; x ∈ R. 2π

12. Sea X una variable aleatoria con una distribución , denida
P (X = x|N ) = 1 , N x = 1, 2, ..., N.Determine
a ) E[x] b ) V ar[X].

13. Sea X una variable aleatoria con una distribución , denida
P (Y = y|n, p) = n y p (1 − p)n−y , y y = 0, 1, ..., n

Determine
a ) E[X] b ) V ar[X]....
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