Efecto stark con variables de acción ángulo

Mon. Not. R. Astron. Soc. 000, 1–?? (2002)

Printed 22 June 2011

a (MN LTEX style file v2.2)

Principios de F´ ısica Semicl´sica Tarea 2 a
D.Nore˜a1 n 1
Instituto de F´ ısica, Universidad deAntioquia

Junio 2011

ABSTRACT

Segunda tarea del curso de f´ ısica semicl´sica. a 1)Efecto Stark en coordenadas parab´licas o 2)Teor´ de perturbaciones ıa Key words: Variables acci´n-´ngulo,oscilador arm´nico, acci´n, hamiltoniano, o a o o transfomaciones can´nicas, diagrama de fase. o

1

EFECTO STARK DE TRES GRADOS DE LIBERTAD

Igualando a cero y tomando en cuenta que pφ esconstante: 2ξ ∂S ∂ξ
2

Para coordenadas polares parab´licas, el hamiltoniano de la o part´ ıcula libre est´ dado por (Landau & Lifschitz 1976): a
2 2 p2 2 ηpξ + ηpη φ H(ξ, η, φ, pξ , pη , pφ ) = + m ξ+η2mξη

− mEξ +

p2 φ + 2η 2ξ

∂S ∂η

2

− mEη +

p2 φ + 2η (6)

(1)

1 mE(ξ 2 − η 2 ) = 0 2

Para una part´ ıcula en presencia de una campo externo cuya energ´ de interacci´n es U ,el hamiltoniano es ıa o H=
2 2 p2 2 ηpξ + ηpη φ + + U (ξ, η, φ) m ξ+η 2mξη

La ecuaci´n anterior es claramente separable, por tanto, se o toma: S = pφ φ + S1 (ξ) + S2 (η) (7)

(2)

Para elefecto Stark, el campo corresponde a un campo el´ctrico constante aplicado en direcci´n +z, permitiendo e o escribir U como: 1 U (ξ, η, φ) = U (ψ, η) = Ez = (ξ − η) (3) 2 La ecuaci´n de Hamilton-Jacobi encoordenadas parab´licas o o es entonces: 2 ξ m(ξ + η) 1 2mξη ∂S ∂φ
2

Si β es una constante, entonces, al introducir (7) en (6), se obtiene: 2ξ ∂S1 ∂ξ ∂S2 ∂η
2

− mEξ +
2

p2 1 φ + mEξ 2 = β2ξ 2 p2 1 φ − mEη 2 = −β 2η 2

(8)

2η

− mEη +

(9)

Despejando, se encuentra que ∂S1 ∂ξ
2

∂S ∂ξ +

2

+η

∂S ∂η

2

+

=
2

p2 1 1 β φ mE − 2 − mEξ + 2 4ξ 4 2ξ p2 1 1 βφ mE − 2 + mEη − 2 4η 4 2η

(10)

E (ξ − η) = E 2

(4)

∂S2 ∂η

=

(11)

Donde E es la energ´ total. Dado que la coordenada φ es ıa c´ ıclica, entonces ∂S = pφ = cte ∂φ Ahora, para...