Eigenvalores

Páginas: 8 (1799 palabras) Publicado: 4 de diciembre de 2012
Capitulo 7
Eigenvalores y eigenvectores

Definición de eigenvalor y eigenvector :
Sea A una matriz de nxn. El escalar λ se denomina eigenvalor de A si existen un vector x diferente de 0 tal que


El vector x se llama eigenvector de A correspondiente a λ.Es decir, es un vector que al transformarlo mediante la multiplicación por A el vector resultante mantiene la dirección, posiblementesolo su longitud y/o sentido se modifique.
Un eigenvector no puede ser cero. Si fuese x el vector cero entonces la definición carecería de sentido, porque A0= λ0 se cumple para todos los valores reales de λ.
Ejemplo :
Para la matriz
verifique que ; x1=(-3,1,-1) y x2=(1,0,0)
Son eigenvectores de A y encuentre sus eigenvalores correspondientes
Solución ;
Al multiplicar x1 por A se obtienePortanto ; x1=(-3,-1,1) es un eigenvector de A correwpondiente al eigen valor λ1=0.
Y al multiplicar x2 por A se obtiene: Asi x2==(1,0,0) es un eigenvector de aA correspondiente al valor λ2=1.
Eigen espacios o espacios caracteristicos
Teorema:
Si A es una matriz de nxn con un eigen valor λ, entonces el conjunto de todos los eigenvectores λ junto con el vector cero:
es un sub espacio Rn,y sellama sub esoacio de λ.
Determinacion de eigenvalores y eigenvectores
Para determinar los eigenvalores y los eigenvectores de una matriz de nxn, sea I la matriz identidad de nxn, al escribir la ecuacion AX= λX en la forma λ/x=Ax se obtiene:

Este sistema homogeneo de ecuaciones tiene soluciones diferentes de cero, si y solo si la matriz de coeficientes (λI-A) no es invertible; es decir, siy solo si el determinante de (λI-A) es cero, por tanto se puede establecer el siguiente teorema:
Sea A una matriz de nxn :
1.Un eigen valor A es u escalar λ, tal que
Det (λI-A)=0
2. Los eigenvectores de A correspondientes de λ son las soluciones diferentes de cero
(λI-A) X=0
La ecuación de (λI-A) = 0 se llama ecuación característica de A además cuando se desarrolla en forma de polinomio,este se llama polinomio característico de A

Esta definicion establece que los eigenvalores de una matriz de nxn corresponden alas raices del polinomio caracteristico de A.
Determinacion de eigen vectores y eigen valores
1. Formule la ecuacion caracteristica | λI-A| =0, será una ecuación polimoldial de grado n en la variable λ.
2. Determine las raíces reales de la ecuacióncaracterística, estos son loseigen vaores de A.
3. Para todo eigen valor λ, determine todos los eigenvectores correspondientes a λ al resolver el sistema homogéneo (λI-A)X=0. Se requiere reducir una matriz por renglones.la forma resultante escalonada por renglones debe contener al menos un renglón de ceros.

Hay algunos tipos de matrices para los cuales es facil encontrar los eigenvalores; el siguienteteorema etablece que los eigenvalores de una matriz triangular de nxn , son los elementos en la diagonal principal.
Su demostracion surge apartir del echo de que el determinante de una matriz, triangular es el producto de los elementos en su diagonal.
Teorema:
Si A es una matriz triangular de nxn entonces sus eigenvalores son sus elementos en su diagonal principal.
Ejemplo:
Determine loseigenvalores de la siguiente matriz

En este caso se aplica el teorema de la matriz triangular,para concluir que los eigenvalores son los elementos de su diagonal principal.

7.2
Diagonalizacion
Definición de un matriz diagonalizable:
Unamatriz de nxn es diagonalizable si A es semejante a una matriz diagonal es decir , A es diagonalizable si existe una matriz invertible P tal que P-1 AP esuna matriz diagonal.
Teorema:
Matrices semejantes tienen los mismos eigenvalores
Si A y B son matrices semejantes de nxn entonces tienen los mismos eigenvalores.
Demostración:
Dado que A y B son semejantes entonces existe una matriz invertible tal que, B= P-1 AP. En virtud de las propiedades de los determinantes se concluye que:

Por tanto A y B deben tener los mismos eigen valores....
Leer documento completo

Regístrate para leer el documento completo.

Estos documentos también te pueden resultar útiles

  • Eigenvalores con Matlab
  • Eigenvalores y eigenvectores
  • eigenvalores
  • Eigenvalores, Métodos Numéricos
  • Eigenvalor para FO
  • que es pca y eigenvalores eigenvectores

Conviértase en miembro formal de Buenas Tareas

INSCRÍBETE - ES GRATIS