Ej Resuelto Estudio De Una Funcion

Análisis Matemático I

Cátedra: Silvia Thompson

Representar la siguiente función: f ( x ) 

x3
( x  1 )2

Dominio
Para que exista f el denominador debe ser distinto de 0, luego:
( x  1 )2  0  x 1  D f    1
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con el eje x: Se obtiene cuando y = 0
Si un cociente es cero, es porque su numerador es cero
x3
x 3  0  x  0. El punto deintersección es (0;0)
2 0 
( x1)
Punto de corte con el eje y:Se obtiene cuando x es cero.
Reemplazando la x por cero da y = 0
El punto de intersección es: (0;0)
Asíntotas
Asíntotas verticales.
Calculamos ellímite cuando x tiende al cero del denominador, en este
caso x=1
x3
lim
  luego x = 1 es AV
x  1 ( x  1 )2
Asíntota horizontal:
Se

plantea

el

límite

cuando

x

tiende

a

infinito

yresulta

una

indeterminación de infinito sobre infinito
Como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador
entonces tiende a infinito, para demostrarlo dividimos numerador y
denominador por x3 …
x3
lim
  luego no tiene AH
x  ( x  1 )2
Asíntota oblicua:
Solo les escribo los resultados
x3
f(x)
( x  1 )2
m  lim
 lim
1
x 
x 
x
x
 x3

n  lim  f ( x )  x   lim 
 x  2
x
x  ( x  1 )2


La ecuación de la asíntota es: y  x  2
Alicia Fraquelli – Andrea Gache – Silvia Thompson

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Análisis Matemático I

Cátedra: Silvia Thompson

Crecimiento y decrecimiento
Sepuede hacer de dos formas:
1) Calculando la derivada:
x3  3 x2
f '( x ) 
( x  1 )3
 Se hallan lo valores para los cuales no está definida la función.
En este caso para x=1
 Se determinan los cerosde la misma
3
x  3 x2
3
2
3  0 entonces x  3x  0 luego x  0  x  3
( x 1)
 Luego se arman lo intervalos reales teniendo en cuenta los valores
hallados y se calcula la derivada en un puntoperteneciente a dicho
intervalo.
Si la derivada en el punto resulta positiva la función es creciente
en el punto y si resulta negativa es decreciente en el punto.

x
(   ,0 ) ( 0,1 ) ( 1,3 ) ( 3, ...