eje series de taylor

FÓRMULA DE TAYLOR
1.- a) Obtener la fórmula de Taylor de la función lnx en un entorno de a=1.
b) Calcular ln(1,1) con el polinomio de Taylor de grado 5 y estimar el error
cometido.
c) Calcular ln(1,1) con un error menor que una diezmilésima.
2.- Hallar una aproximación del valor numérico de ln2, dando una cota del error
cometido, utilizando los polinomios de MacLaurin de grado 5 de lasfunciones:
a) f(x)=ln(1+x)
1  x
b) g(x)=ln 

1  x
Escribir las fórmulas de MacLaurin de las funciones f(x) y g(x).

3.- Escribir la fórmula de MacLaurin de la función f(x)=ex.
b) Calcular de forma aproximada e tomando el polinomio de MacLaurin de
grado 5.
c) Acotar el error cometido en dicha aproximación.
d) Calcular n en la fórmula de MacLaurin para obtener un valor aproximado dee con un error menor de 10-6.
e) Dado el polinomio de MacLaurin Tn(ex, 0) obtenido en el apartado a) se pide
calcular:
2
i) T (e2x, 0)
ii) T (e2x+3, 0)
iii) T ( e x , 0).
n

n

n

4.- a) Escribir la fórmula de MacLaurin de la función y=cosx.
b) Calcular cos1 con un error menor de 10-7.
c) Deducir a partir de a) el polinomio Tn(cosx2, 0).
d) Usar c) para estimar



1
2
0cos(x 2 ) dx con tres cifras decimales exactas.

5.- a) Demostrar que si y=f(x) es una función impar, entonces Tn(f(x), 0) solo
tiene potencias impares. Análogamente si f(x) es una función par, entonces
Tn(f(x), 0) solo tiene potencias pares.
b) Desarrollar tgx en potencias de x hasta el término de grado 5, empleando
la igualdad tg x  sen x .
cos x

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6.- a) Hallar la fórmula de Taylor de la función f(x) 

3

x en el punto a=1.

5x  24x  60x  40
se utiliza cuando x  1 es
81
pequeño, es decir, para x próximos a 1. Acotar el error cometido en dicha
aproximación cuando x  1  0, 01.
b) La aproximación

7.- Calcular lim

x0

3

x 

3

2

tg x  sen x
.
x3

8.- Para cada unade las funciones siguientes y para los valores de a y n
indicados se pide:
a) Hallar el polinomio de Taylor.
b) El resto de Lagrange correspondiente al polinomio obtenido en a)
f(x) = x
para a = 4 y n = 3.
f(x) = 1  x
para a = 0 y n = 4.
f(x) = ln(cos x)
para a = 0 y n = 3.
π
y n = 4.
f(x) = cos x para a =
3
π
f(x) = sen x para a =
y n = 4.
4
f(x) = arctg x
para a = 1 y n = 3.9.- Utilizando los polinomios y los restos de Lagrange correspondientes obtenidos
en el ejercicio anterior, se pide hallar el valor aproximado y una estimación del
error cometido para: 5
cos1
arctg 2
10.- Explicar la procedencia de las siguientes igualdades aproximadas, válidas
para valores pequeños de x > 0 y acotar el error cometido en las mismas
x2
x4
x2
2x 5


ln(cos x)  tgx  x 
2
12
3
15
3
3
x
x
arcsenx  x 
arctgx  x 
6
3
x
x
2
4
e  e
x
x
x3
2
cosh x 
 1

ln x  1  x  x 
2
2
24
3!





11.- Sea f(x)  xe x  tg(x)
a) Hallar la fórmula de MacLaurin de orden 3 de f.
b) Hallar una aproximación del valor f(0, 01) con el polinomio de MacLaurin
de orden 3
c) Acotar el error cometido en el cálculo de f(0, 01) en elapartado b)
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2

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12.- Hallar el polinomio de MacLaurin de la función f(x) = cos x, de grado
  
mínimo, que aproxime cos 
 con un error menor que 0.0005. A continuación
 30 
  
calcular el valor aproximado de cos 
 (con las cifras decimales que delimita
 30 
el error permitido).
13.a) Escribir lafórmula de MacLaurin de grado 3 de la función y = arctgx
b) Calcular el valor aproximado de arctg(0,1), utilizando el polinomio de
MacLaurin del apartado a) y acotar el error cometido.
arctg(x)  x
c) Calcular lim
x0
4x 3
ex  e x
14.- Dada la función f(x)=
, calcular el polinomio de MacLaurin de grado
2
4 y hallar el valor aproximado de f(0,1) utilizando dicho polinomio.

15.- ¿Para...