Ejecicios de probbilidad nivel licenciatura

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Valor esperado
1.- Sea un experimento consiste en lanzar una moneda tres veces. Dejar
X denota el número de caras que aparecen. Luego los posibles valores de X son
0,1, 2 y 3. Las probabilidades correspondientes son 1 / 8, 3 / 8, 3 / 8 y 1 / 8. Así, el
valor esperado de X es igual
0(1/8)+1(3/8)+2(3/8)+3(1/8)=3/2.

2.- Supongamos quelanzamos una moneda hasta que la cabeza sale primero, y dejar que
X representa el número de lanzamientos que se hicieron. Luego los posibles valores de X
son 1, 2,. . .,Y la función de distribución de X se define por
M(i)=1/2i

3.- Supongamos que lanzamos una moneda al aire hasta una cabeza
aparece por primera vez, y si el número delanzamientos es igual a n, entonces se nos paga 2n dólares.
¿Cuál es el valor esperado del pago?
Dejamos Y representan el pago. Entonces,
P(Y = 2n) =1/2n, por ≥1 por lotanto E(Y)= ∞
∑ 2n 1/2n,
n=1

que es una suma divergentes. Por lo tanto, Y no tiene expectativas. En este ejemplo se llama
Paradoja de San Petersburgo. El hecho deque la suma anterior es infinita sugiere que
un jugador debe estar dispuesto a pagar cualquier cantidad fija por partido por el privilegio de
en este juego. El lector sele pide que considere la cantidad que él o ella se
dispuestos a pagar por este privilegio. Es poco probable que la respuesta del lector es más que
10 dólares; aquí estála paradoja.

VALOR esperado y la varianza

4.- Sea T el tiempo para el primer éxito en un proceso de Bernoulli ensayos.
Entonces tomamos como espacio muestral
losenteros 1, 2,. . . y asignar el geométricas
distribución
m(j) = P(T = j) = qj−1p
E(T) = 1 • p + 2qp + 3q2p + • • •
= p(1 + 2q + 3q2 + • • •) .

Ahora bien, si | x |
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