Ejemplo aplicación derivadas

Costo de construcción de edificaciones

Ingenieros de la Constructora Bolívar S.A, han determinado basándose en su experiencia que el costo total C de construcción de un edificio de n pisos estáexpresado por:
Cn=2n2+300n+320
Donde C esta expresado en miles de Dólares.
Para efectos de proporcionar diferentes alternativas de construcción de edificios para sus clientes, la constructora pide asus asesores administrativos obtener una expresión que determine el costo medio por piso Cm en función de n.
Además de esto, el presidente ejecutivo de la constructora, exige a sus empleados de lacompañía aconsejar a los clientes adquirir un edificio cuyo número de pisos sea el que proporcione el menor costo medio por piso, esto con el fin de obtener una rentabilidad máxima. Para ello encargaa sus asesores administrativos la determinación del número de pisos que deberá tener un edificio para que el costo medio por piso sea mínimo y el cálculo del costo total que este representaría parala compañía.

Solución
Lo exigido por las directivas de la construcción puede ser resumido en tres puntos:
a) Determinación del costo medio por piso Cm en función de n.
b) Calculo del número depisos a construir para que el costo medio por piso sea mínimo.
c) Calculo del costo total del edificio.

a) Determinación del costo medio por piso Cm en función de n.

Dada la función decosto total, la función de costo medio por piso es obtenida al dividir cierta expresión entre n:

Cmn=Cnn=2n2n+300nn+320n=2n+300+320n
Por lo tanto:

Cmn=2n+300+320n

b) Calculo del número depisos a construir para que el costo medio por piso sea mínimo.

Determinación de puntos críticos de la función “Costo medio”:

Cmn=2n+300+320n

Cm`n=2-0n-320(1)n2

Cm`n=2-320n2

0=2-320n20=2n2-320n2

320=2n2

160=n

Existe un punto crítico cuando n≅12.65, veamos si este punto crítico representa un máximo o un mínimo, para ello se realiza la prueba de la segunda derivada:...