Ejemplo De Metodo De Gauss Jordan
Páginas: 6 (1394 palabras)
Publicado: 12 de marzo de 2013
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA
ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA
LICENCIATURA EN INGENIERÍA ELECTRÓNICA
CM-3201 MÉTODOS NUMÉRICOS
Profesor: Ing. Marvin Hernández
GAUSS-SEIDEL, JACOBI, RELAJACIÓN Y CONVERGENCIA
I Semestre 2004
Métodos Iterativos para Sistemas de Ecuaciones Algebraicas Lineales
Introducción
Los métodosnuméricos se dividen en dos categorías generales: métodos exactos y aproximados. Los primeros, como su nombre lo indica, buscan dar resultados exactos. No obstante, como están afectados por errores de redondeo, algunas veces dan resultados imprecisos. La magnitud del error de redondeo varía en cada sistema y depende de varios factores, tales como las dimensiones del sistema, su condición y el hecho desí la matriz de coeficientes es dispersa o densa. Además, la precisión de la computadora afectará el error de redondeo.
Se recomienda una estrategia de pivoteo en todo programa de computadora que realice métodos de eliminación exactos. Esa estrategia minimiza el error de redondeo y evita problemas como el de la división entre cero. Los algoritmos basados en la descomposición LU son losmétodos que se eligen debido a su eficiencia y flexibilidad.
La tabla 1 ofrece un resumen de las ventajas y desventajas en la solución de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas. Dos métodos (el gráfico y la regla de Cramer) están limitados a pocas ecuaciones(< 3), de modo que tienen escasa utilidad para resolver problemas prácticos. Sin embargo, dichas técnicas son herramientas didácticasútiles para entender el comportamiento de los sistemas lineales en general.
Aunque los métodos de eliminación tienen gran utilidad, el uso de toda la matriz de los coeficientes puede ser limitante cuando se trate con sistemas dispersos muy grandes. Esto se debe a que gran parte de la memoria de la computadora se dedicaría a guardar ceros que no tienen significado. Para sistemasbandeados, hay técnicas para realizar métodos de eliminación sin tener que guardar todos los coeficientes de la matriz.
La técnica aproximada por conocer como método de Gauss-Seidel, difiere de las técnicas exactas porque emplea un esquema iterativo para obtener, progresivamente, estimaciones más cercanas a la solución. El efecto del error de redondeo es un punto discutible en el método deGauss-Seidel, ya que se pueden continuar las iteraciones hasta que se obtenga la precisión deseada. Además, se pueden desarrollar versiones del método de Gauss-Seidel para utilizar de manera eficiente los requerimientos de almacenaje en computadora con sistemas dispersos. En consecuencia, la técnica de Gauss-Seidel es útil para grandes sistemas de ecuaciones, donde los requerimientos de almacenajepodrían llevar a problemas significativos con las técnicas exactas
Aplicaciones
Las técnicas iterativas se emplean rara vez para resolver sistemas lineales de dimensión pequeña ya que el tiempo requerido para lograr una precisión suficiente excede al de las técnicas directas como el método de eliminación Gaussiana. Sin embargo, para sistemas grandes con un gran porcentaje de ceros, estastécnicas son suficientes en términos de almacenamiento en la computadora y del tiempo requerido.
Los métodos de este tipo surgen frecuentemente en los sistemas con ecuaciones diferenciales, donde encontraríamos aplicaciones en todas las ramas de la ingeniería, así como en las Ciencias Sociales y la Economía. Estos métodos son útiles en la predicción del clima, donde el volumen de variables ameritael uso de extensas matrices.
Justificación
Una forma de entender el uso de los métodos numéricos y su utilidad es precisamente comparándolos con los métodos directos, esta comparación se realiza en términos de operaciones realizadas, tales como sumas, restas, divisiones y multiplicaciones. Por tanto el entendimiento de esto conlleva a su uso práctico. Las siguientes tablas muestran las...
ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA
LICENCIATURA EN INGENIERÍA ELECTRÓNICA
CM-3201 MÉTODOS NUMÉRICOS
Profesor: Ing. Marvin Hernández
GAUSS-SEIDEL, JACOBI, RELAJACIÓN Y CONVERGENCIA
I Semestre 2004
Métodos Iterativos para Sistemas de Ecuaciones Algebraicas Lineales
Introducción
Los métodosnuméricos se dividen en dos categorías generales: métodos exactos y aproximados. Los primeros, como su nombre lo indica, buscan dar resultados exactos. No obstante, como están afectados por errores de redondeo, algunas veces dan resultados imprecisos. La magnitud del error de redondeo varía en cada sistema y depende de varios factores, tales como las dimensiones del sistema, su condición y el hecho desí la matriz de coeficientes es dispersa o densa. Además, la precisión de la computadora afectará el error de redondeo.
Se recomienda una estrategia de pivoteo en todo programa de computadora que realice métodos de eliminación exactos. Esa estrategia minimiza el error de redondeo y evita problemas como el de la división entre cero. Los algoritmos basados en la descomposición LU son losmétodos que se eligen debido a su eficiencia y flexibilidad.
La tabla 1 ofrece un resumen de las ventajas y desventajas en la solución de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas. Dos métodos (el gráfico y la regla de Cramer) están limitados a pocas ecuaciones(< 3), de modo que tienen escasa utilidad para resolver problemas prácticos. Sin embargo, dichas técnicas son herramientas didácticasútiles para entender el comportamiento de los sistemas lineales en general.
Aunque los métodos de eliminación tienen gran utilidad, el uso de toda la matriz de los coeficientes puede ser limitante cuando se trate con sistemas dispersos muy grandes. Esto se debe a que gran parte de la memoria de la computadora se dedicaría a guardar ceros que no tienen significado. Para sistemasbandeados, hay técnicas para realizar métodos de eliminación sin tener que guardar todos los coeficientes de la matriz.
La técnica aproximada por conocer como método de Gauss-Seidel, difiere de las técnicas exactas porque emplea un esquema iterativo para obtener, progresivamente, estimaciones más cercanas a la solución. El efecto del error de redondeo es un punto discutible en el método deGauss-Seidel, ya que se pueden continuar las iteraciones hasta que se obtenga la precisión deseada. Además, se pueden desarrollar versiones del método de Gauss-Seidel para utilizar de manera eficiente los requerimientos de almacenaje en computadora con sistemas dispersos. En consecuencia, la técnica de Gauss-Seidel es útil para grandes sistemas de ecuaciones, donde los requerimientos de almacenajepodrían llevar a problemas significativos con las técnicas exactas
Aplicaciones
Las técnicas iterativas se emplean rara vez para resolver sistemas lineales de dimensión pequeña ya que el tiempo requerido para lograr una precisión suficiente excede al de las técnicas directas como el método de eliminación Gaussiana. Sin embargo, para sistemas grandes con un gran porcentaje de ceros, estastécnicas son suficientes en términos de almacenamiento en la computadora y del tiempo requerido.
Los métodos de este tipo surgen frecuentemente en los sistemas con ecuaciones diferenciales, donde encontraríamos aplicaciones en todas las ramas de la ingeniería, así como en las Ciencias Sociales y la Economía. Estos métodos son útiles en la predicción del clima, donde el volumen de variables ameritael uso de extensas matrices.
Justificación
Una forma de entender el uso de los métodos numéricos y su utilidad es precisamente comparándolos con los métodos directos, esta comparación se realiza en términos de operaciones realizadas, tales como sumas, restas, divisiones y multiplicaciones. Por tanto el entendimiento de esto conlleva a su uso práctico. Las siguientes tablas muestran las...
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