Ejemplo método de la secante

INDICE Objetivo Introducción Diseño de un circuito eléctrico Antecedentes Problema Solución Conclusión 3 5 5 8 1 2

OBJETIVO El objetivo de este proyecto es aplicar algunos de los conocimientos adquiridos en el curso de Métodos Numéricos para resolver un problema específico, en este caso, diseñar un circuito eléctrico que puede hacerse utilizando alguno de los métodos cerrados vistos en lamateria.

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INTRODUCCION Se analizará un problema de ingeniería eléctrica, el cual consiste en diseñar un circuito eléctrico RLC. Conociendo los valores del capacitor y del inductor se determinará un valor numérico apropiado para que el resistor disipe la energía en un tiempo determinado. Se utilizara el método de la secante para la solución del problema y también se hará uso del software Mapleya que facilita mucho las distintas operaciones. También se explicarán brevemente algunas de las características de los componentes eléctricos.

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DISEÑO DE UN CIRCUITO ELECTRICO EN INGENIERIA ELECTRICA - Antecedentes. En la ingeniería eléctrica se emplean las leyes de Kirchhoff para estudiar el comportamiento de los circuitos eléctricos en estado estacionario, es decir, que no varía con eltiempo, aunque puede provocarse un cambio mediante la conmutación de un interruptor y algunos circuitos presentan una respuesta transitoria, lo cual significa que, súbitamente sufren cambios temporales. Esta situación se presenta en el caso de la figura 8.3.

En tal caso, existe un periodo de ajuste al cerrar el interruptor hasta que se alcance un nuevo estado estacionario. El tiempo que tardaen llegar nuevamente a un estado estacionario está íntimamente relacionado con las propiedades de almacenamiento de energía, tanto del capacitor como del inductor. La energía almacenada puede oscilar entre estos dos elementos durante un periodo transitorio pero la resistencia en el circuito se encargará de disiparla. El voltaje en un resistor está dado por: = donde i = la corriente que pasa através del resistor y R = la resistencia del resistor. Una característica de los inductores es que se oponen a cambios de corriente tales que la salida del voltaje a través del inductor VL es:

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= donde L = la inductancia. La caída del voltaje a través del capacitor depende de la carga sobre éste: = donde C = la capacitancia y q = la carga. La segunda ley de Kirchhoff establece que la sumaalgebraica de los voltajes en un circuito cerrado es cero. Así que, después de cerrar el interruptor se tiene: + + =0

Además, la corriente se relaciona con la carga de acuerdo con: = Por lo tanto: + + 1 =0

Esta es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden que se resuelve usando los métodos de cálculo. Esta solución está dada por: q(t) = q e
⁄( )

cos

1 R − LC 2L

t

sien t = 0, q = q0 = V0C y V0 = el voltaje de la batería. La ecuación describe la variación de la carga en el capacitor. (figura 8.4.)

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Otra cosa que se debe tomar en cuenta antes de resolver el problema es la ecuación de la secante que ya fue analizada durante el curso.

- Problema. Determinar el valor apropiado de la resistencia para disipar energía a una razón especificada, con valoresconocidos de L y C. En este problema, suponga que la carga se debe disipar a 1% de su valor original (q/qQ = 0.01) en t = 0.05 s, con L = 5 H y C = 10-4F. - Solución. Reordenando la ecuación: 1 R − LC 2L q q

f(R) = e

⁄(

)

cos

t −

Sustituyendo los valores numéricos dados: f(R) = e
.

cos

2000 − 0.01R (0.05) − 0.01

Debido a que R es una variable implícita en la ecuación setiene que resolver mediante una técnica de aproximación numérica, para esto, se utilizará el método de la secante.
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“Se define la función” > f:=(exp(-0.005*R)*cos(sqrt(2000-((0.01*R^2)))*0.05))-0.01;

> plot(f,R=0..400);

“Se grafica la función”

::::::::::PRIMERA ITERACIÓN:::::::::: “a partir de la gráfica se proponen los valores iniciales” > x[0]:=300; x[1]:=350;

“se evalua la...