Ejemplos de derivadas parciales aplicadas a la mecánica.

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Ejemplos de derivadas parciales aplicadas a la Mecánica.

Ejemplo 1
Calcule el incremento aproximado del volumen de un pistón cilíndrico circular recto si su altura aumenta de 10 [cm] a 10,5[cm] y su radio aumenta de 5 [cm] a 5,3 [cm].
¿Cuánto es el nuevo volumen aproximado?
* Respuesta:

h:10 cm→10,5 cm
r:5 cm→5,3 cm

Sabemos que el volumen del cilindro circular recto vienedado por:
V=πr2h
Por lo tanto:

dV=∂V∂rdr+∂V∂hdh
dV=2πhrdr+πr2dh
dV=πr2hdr+rdh
dV=πr2h±0,3+r±0,5
dV=π5210±0,3+5±0,5=42,5π [cm]3
Vfinal=V+dV=292,5π [cm]3
Ejemplo 2
Según conocemos,la Ley de los Gases Ideales viene dada por la ecuación
PV=KT
Donde P es la presión medida en [atm], V es el volumen del gas medido en [Lt], T es la Temperatura absoluta en [K] y K es un valorconstante que involucra la constante universal de los gases ideales.
Considerando los siguientes valores:
T=290K; V=12Lt; K=0,6
a) Determine la tasa de variación de P por unidad de variación deT, considerando V constante en 12 [Lt].
b) Determine la variación de P si T se incrementa a 295[K]
c) Determine la tasa de variación ∆V∆P si T se fija en 290 [K]
d) Calcule la variaciónaproximada de volumen necesario para producir la misma variación en la presión de b).
* Respuesta:
a)
∆P∆T=KV=0,05
b)
∆P∆T=0,05→∆P=0,05∆T→∆P=0,25
c) (consideramos P=14,5 [atm])∆V∆P=-KTP2=-0,6(290)(14,5)2→∆V∆P=-0,828
d)
∆V∆P=-0,828→∆V=-0,828∆P→∆V=-0,21

Ejemplo 3
Considerando la Ley de los Gases Ideales resumida en el ejercicio anterior, calcule el error al medir T y V con 0,6%y 0,8% de error, respectivamente.
Evalúe el porcentaje máximo de error aproximado en P.

* Respuesta:

Si tenemos que T y V fueron medidos con cierto porcentaje de error, entonces puedenser escritos como sigue:
dT=±0,006T
dV=±0,008V
De esta manera se tiene:
dP=∂P∂TdT+∂P∂VdV
dP=KVdT+-KTV2dV
dP=KV±0,006T-KTV2±0,008V
dP=KTV±0,006-KTV±0,008
dP=P±0,014
Por lo tanto...
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