Ejemplos de torsion

Ejemplo 3-1

Una barra solida de acero con sección transversal circular (figura 3-11) tiene diámetro d=1.5 pulg y modulo de elasticidad cortante G=11.5x 106 lb/pulg2. La barra está sometida a pares de torsión T que actúa en sus extremos.
a) Si los pares tienen magnitud T= 250 lb-pie, ¿cuál es el esfuerzo cortante máximo en la barra? ¿Cuál es el ángulo de torsión entre los extremos?
b)Si el esfuerzo cortante permisible es de 6 000 lb/pulg2 y el ángulo permisible de torsión es de 2.5°, ¿Cuál es el par permisible máximo?

Solución:
a) Esfuerzo cortante máximo y ángulo de torsión máximo. Como la barra tiene sección transversal circular solida, podemos encontrar el esfuerzo cortante máximo con la ecuación (3-12 ) de esta manera:
τmax=16Tπd3=16150lb-pie(12pulgpie)π1.5pulg3=4 530lbpulg2
De modo similar, el ángulo de torsión se obtiene de la ecuación (3-15) con el momento polar de inercia dado por la ecuación (3-10):
IP=πd432=π1.5pulg432=0.4970 pulg4
φ=TLGIP=250lb-pie12pulgpie54 pulg11.5x106lbpulg0.4970pulg4=0.02834 rad=1.62°
Con lo cual termina el análisis de la barra sometida a la acción del par dado.
b) Par de torsión máximo permisible. El par permisiblemáximo se determina con el esfuerzo cortante permisible o con el ángulo permisible de torsión. Si comenzamos con esfuerzo cortante, reordenamos la ecuación (3-12) y procedemos como sigue:
πd3τperm16=π16pulg36000lbpulg2=3 980 lb-pulg=331 lb-pie
Cualquier par mayor que este generara un esfuerzo cortante que excederá al esfuerzo permisible de 6 000 lb/pulg2.
Usando la ecuación (3-15) modificada, secalcula el par basándose en el ángulo de torsión.
T2=GIPφpermL=(11.5X106Ib/pulg2)(0.4970pulg4)2.5°(πrad180°)54 pulf= 4681Ib-pulg=385 Ib-pies
Cualquier par mayor que T2 generara un alngulo de torsión que escedera al permisible.
El par permisible máximo es el menor de T1 y T2:
Tmax=331 Ib-pies
En este ejemplo, el esfuerzo cortante permisible impone la condición límite.
Ejemplo 3-2

Se va amanufacturar un eje de acero con una barra circular (fig. 3-12). Se requiere que el eje transmita un par un par de 1 200 N·m sin que se exceda de un esfuerzo cortante permisible de 40 MPa ni ángulo de torsión por unidad de longitud permisible de 0.75°/m (el modulo de elasticidad en cortante del acero es de 78 GPa).
a) Determinar el diámetro requerido d0 del eje solido.
b) Determinar eldiámetro exterior d2 requerido para el eje hueco si el espesor t del eje se especifica como un diámetro del diámetro exterior.
c) Determinar la razón de los diámetros (es decir, la razón d2/d0) y la razón de los pesos de los ejes huecos y sólidos.

Solución
a) Eje solido. El diámetro d0 requerido se establece a partir del esfuerzo cortante permisible o del ángulo por torsión por unidadde longitud por permisible. En el caso del esfuerzo cortante permisible, recordaos la ecuación (3-12) y obtenemos
d03 =16TπTperm=16(1200 N*m)π(40 MPa)=152.8 X 10-6m3
En donde obtenemos
d0=0.0535 m=53.5 mm
En el caso del ángulo de tensión por unidad de longitud permisible, encontramos primero el momento polar de inercia requerido (véase la ecuación 3-14):
IP=TGθperm=1200 N*m78GPa(0.75°/m)(πrad180°)=1175 X 10-9m4
Puesto que el momento polar de inercia es igual πa4/32 , el diámetro requerido es
d04=32IPπ=32(1175 X 10-9m4)π=11.97 X 10-6m4
o
d0=0.0588m=58.8mm
Al comparar los dos valores de d0, vemos que el angulo de torsión por unidad de longitud rige el diseño y el diemetro requerido del eje solido es
d0=58.8mm
En un disco práctico, seleccionaríamos un diámetro ligeramente mayorque el valor calculado por d0: por ejemplo 60mm.
b) Eje hueco. De nuevo, el diámetro requerido se basa en el esfuerzo cortante permisible o bien en el ángulo de torsión por unidad de longitud permisible. Comenzamos observando que el diámetro exterior de la barra de d2 y que el diámetro interior es

d1=d2-2t=d2-20.Id2=0.8d2

Así pues, momento polar de inercia (ecuación 3-16) es...
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