ejercicio densidad

EJERCICIO 
 
 
Se  tiene  un  recipiente  cilíndrico  de  altura  H  [cm],  cuya  base  tiene  un  radio  R  [in];  el  recipiente 
tiene una masa de P [kg]. Se le agrega un fluido líquido al recipiente hasta la mitad de la altura de 
este, se pone el sistema en una balanza y se lee que la masa de éste es de S [kg].  
 Se dispone de un cubo del mismo fluido congelado con un volumen de v [cm³], el cual tiene en su 
interior una esfera metálica de radio r [cm] cuya masa es de b [g].  
 
Se deposita este cubo en el fluido líquido de tal forma que permanece flotando inicialmente en la 
parte superior y comienza a derretirse a razón de c [ml/s]. 
 
Sabiendo que la densidad del hielo es  d [g/ml]. Determine el tiempo en el  cual el sistema  hielo‐
esfera comienza a descender. 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
Para  resolver  el  problema  es  necesario  saber  que  si  el  sistema  hielo‐esfera  está  flotando,  quiere 
decir que la densidad del sistema es menor que la del fluido en el cual está contenido. 
 
Sabiendo  que  el  hielo  comienza  a  derretirse  apenas  es  colocado  en  el  fluido,  es  necesario establecer cuando es el tiempo en el cual el sistema comienza a descender. 
 
Este  instante  de  tiempo  es  el  momento  en  que  las  densidades  son  iguales,  debido  a  que  en 
cualquier instante anterior, la densidad será menor y en cualquier instante posterior, la densidad 
será menor. 
 
Como  pueden  darse  cuenta,  la  densidad  del  sistema  hielo‐esfera  depende  únicamente  de  la cantidad de hielo presente en el sistema, ya que la esfera siempre va a conservar si volumen y por 
lo tanto, su masa. 
 
Es lógico pensar esto, ya que aunque la esfera sea siempre más densa, la presencia de un material 
menos denso en mayor cantidad al crear una mezcla multicomponente supone una disminución de 

la densidad de un sistema cada vez que la masa o el volumen del material menos denso aumentan 
en su concentración. 
 Esto puede verse de la siguiente forma: 
 
Suponiendo  una  mezcla  de  dos  componentes  con  densidades    y    ,  donde 
,  y 
suponiendo  que    y  ∀   son  la  masa  y  el  volumen  del  material  con  densidad  ,  las  cuales  son 
fijas,  es  decir,  no  varían  en  el  tiempo  ni  en  el  espacio.  Sabemos  que  la  densidad  del  sistema 
completo es  , donde 
 
∑
 
∑ ∀
 Desarrollando la igualdad obtenemos que 
 
∀

∀

 

 
Considerando que   puede variar y por lo tanto ∀  también, porque la densidad   es constante 
(recuerden que estamos hablando de medios continuos), debemos dejar todo en términos de una 
sola variable. En este caso, seleccionaremos ∀ , de esta forma 
 
∀
 
∀
∀
 Y listo… El asunto puede parecer demasiado estúpido, porque a fin de cuentas hasta ahora se han 
hecho reemplazos muy elementales, pero recuerden que lo que se está tratando de verificar es que 
ante  la  presencia  de  determinado  componente  con  densidad 
  en  gran  proporción,  los 
cuerpos  tienden  a  ser  de  una  densidad  menor,  entonces  para  ver  esto  simplemente  es  necesario 
aplicar el concepto de límite para mirar cual es el máximo valor que puede tomar la densidad del sistema, de esta forma: 
 
 
∀
lim
 
∀ →
∀
∀
 
Y pues ya ven que para hacer eso fácil podemos aplicar la regla de L’Hôpital ya que la relación nos 
resulta ∞⁄∞. Así obtenemos 
 
∀
lim
 
∀ →
∀
∀
 
Y esto quiere decir que la densidad siempre tiende a ser la menor cuando el material de densidad 
menor se encuentra en una proporción mayor. 
 
Tengan  en  cuenta  que  también  funciona  en el  sentido  contrario,  es  decir,  que  si  el  material  de 
mayor proporción es el de densidad mayor, la densidad total del sistema tiende a aproximarse a 
esta, y la demostración es exactamente igual. 

A  fin  de  cuentas  podremos  decir  que  cuando  un  material  está  en  mayor  proporción  que  otro,  la 
densidad ...