Ejercicio método simplex

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EL PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN
La empresa Que Lindo Perrito se dedica a la producción y venta de comida seca para perros. La compañía produce y empaca dos clases de comidas en bolsos de 20 libras, estos son a saber; comida seca para perros en crecimiento y comida seca para perros adultos. El costo semanal de fabricar un saco de comida para crecimiento es de $5 y para adultos de $7. A la comida paracrecimiento se le puede añadir un máximo de 200 unidades de vitaminas mientras que la comida para perros adultos deberá tener un mínimo de 100 unidades. El total de unidades de vitaminas para la mezcla deberá ser exactamente 800 unidades.

Formulación para este problema de programación lineal es la siguiente.

Minimizar Z = $5X1 + $7X2 (0)

Sujeto a:
X1 ≤ 200 (unidades devitaminas para perros en crecimiento) (1)
X2 ≥ 100 (unidades de vitaminas para perros adultos) (2)
X1 + X2 = 800 (total de unidades de vitaminas) (3)
X1, X2 ≥ 0

Donde
X1 = unidades de vitaminas para las bolsas de comida para crecimiento
X2 = unidades de vitaminas para bolsas de comida perros adultos

Modelo Aumentado:
Restricciones:
X1 + H1 = 200 (1)
X2 – S2 + A2 =100 (2)
X1 + X2 + A3 = 800 (3)
X1, X2, H1, S2, A2, A3 ≥ 0

Función Objetivo:
Minimizar Z = 5X1 + 7X2 + MA2 + MA3

De (2) A2 = 100 - X2 + S2
De (3) A3 = 800 - X1 - X2

En F.O. Minimizar Z = 5X1 + 7X2 + M(100 - X2 + S2) + M(800 - X1 - X2)
Z = X1(5 – M) + X2(7 – 2M) + MS2 +900M
Z - X1(5 – M) - X2(7 – 2M) - MS2 = 900M
Z +X1(M – 5) + X2(2M – 7) - MS2 = 900M

TABLEAU SIMPLEXBASE: X1 = 0, X2 = 0, S2 = 0
Restricción | V.B | Z | X1 | X2 | H1 | S2 | A2 | A3 | Sol | Razón Mín. |
(0) | Z | 1 | M - 5 | 2M - 7 | 0 | - M | 0 | 0 | 900M | |
(1) | H1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 200 | 200/0=M |
(2) | A2 | 0 | 0 | 1 | 0 | -1 | 1 | 0 | 100 | 100/1=100 |
(3) | A3 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 800 | 800/1=800 |

Solución: Z = 900M, H1 = 200, A2 = 100, A3 = 800Variable entrante: X2 Variable Saliente = A2
V.N.B. X1, S2, A2
Restricción | V.B | Z | X1 | X2 | H1 | S2 | A2 | A3 | Sol | Razón Mín. |
(0) | Z | 1 | M - 5 | 0 | 0 | M - 7 | -2M+7 | 0 | 700(M+1) | |
(1) | H1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 200 | 200 |
(2) | X2 | 0 | 0 | 1 | 0 | -1 | 1 | 0 | 100 | M |
(3) | A3 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | -1 | 1 | 700 | 700 |

Solución: X1 = 0, A2 = 0, S2 = 0,Z = 700(M+1), H1 = 200, X2 = 100, A3 = 700

Variable entrante: X1 Variable Saliente = H1
V.N.B. H1, S2, A2
Restricción | V.B | Z | X1 | X2 | H1 | S2 | A2 | A3 | Sol | Razón Mín. |
(0) | Z | 1 | 0 | 0 | - M+ 5 | M – 7 | -2M+7 | 0 | 500M+1700 | |
(1) | X1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 200 | M |
(2) | X2 | 0 | 0 | 1 | 0 | -1 | 1 | 0 | 100 | - |
(3) | A3 | 0 | 0 | 0 | -1 | 1 | -1 | 1 |500 | 500 |
Solución: H1=0, S1 = 0, S2 = 0, Z = 500m + 100, X1 = 200, X2 = 100, A3 = 500

Variable entrante: S2 Variable Saliente = A3
V.N.B. H1, A2, A3
Restricción | V.B | Z | X1 | X2 | H1 | S2 | A2 | A3 | Sol | Razón Mín. |
(0) | Z | 1 | 0 | 0 | -2 | 0 | - M | - M+7 | 5200 | |
(1) | X1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 200 | |
(2) | X2 | 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | 600 | |
(3) |S2 | 0 | 0 | 0 | -1 | 1 | -1 | 1 | 500 | |

Todos los coeficientes de las V.N.B. en el reglón (0) son negativas, la solución es óptima

Solución: H1= 0, A2=0, A3 = 0, Z = 5200, X1 = 200, X2 = 600, S2 = 500

La empresa utilizará 200 unidades de vitaminas para perros en crecimiento y 600 unidades de vitaminas para perros adultos para un costo semanal de $5,200.

La variable S2 = 500representa un exceso de 500 unidades de las vitaminas para perros adultos sobre el mínimo necesario de 100 unidades. Acuérdese que la variable se relaciona con la segunda restricción, X2 ≥ 100 (unidades de vitaminas para perros adultos).
Si la solución para X2 son 600 unidades y el mínimo requerido son 100 unidades entonces S2 será igual a 500 unidades; (X2 + S2 = 100, al sustituir en la ecuación;...
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