Ejercicio Pendiente Secci N 03 Discusi Hellip

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Demostrar su convergencia o no convergencia probando por inducción matemática su
monotonía y acotamiento.
Si converge, encontrar el valor de convergencia L .

ak 1  ln1000  ak  , a0  1k  0
Explorando términos:

a0  1
a1  6.90875
a2  6.91464
a3  6.91465
a4  6.91465
Se tiene una idea de no decrecimiento de la sucesión.
Prueba de monotonía.Paso básico:

a0  a1
1  6.90875
El paso básico es verdadero.
Hipótesis inductiva:

ak  ak 1
Se asume esta expresión como verdadera.
Paso inductivo:

ak 1  ak 2
Partiendo dela hipótesis inductiva:

ak  ak 1
1000  ak  1000  ak 1

ln 1000  ak   ln 1000  ak 1 
ak 1  ak  2

Por lo tanto la sucesión es monótona.

Prueba de acotamientoPaso básico:
Tomando como cota

M  6.92

a0  M
1  6.92
El paso básico es verdadero.
Hipótesis inductiva:

ak  M
Se asume esta expresión como verdadera.
Paso inductivo:

ak 1 M
Partiendo de la hipótesis inductiva:

ak  6.92
1000  ak  1000  6.92

ln 1000  ak   ln 1000  6.92 
ln 1000  ak   6.91465
ak 1  M

Por lo tanto la sucesión esacotada. La sucesión resulta ser monótona y acotada por lo que se puede
asegurar que converge.
Valor de convergencia
Al demostrar la monotonía y el acotamiento se dice que:

lim ak L  lim ak 1
k 

k 

ak 1  ln 1000  ak 
lim ak 1  lim ln 1000  ak 
k 

k 



lim ak 1  ln lim 1000  ak 
k 

k 

L  ln 1000  L 



Al evaluar ellímite, se genera una ecuación no lineal donde la variable es representada por
método de Newton-Raphson para encontrarlo:

f  L   L  ln 1000  L   0
f ' L   1 

1
1000 L

Haciendo uso del método:

Ln1  Ln 

Ln  ln 1000  Ln 
1
1
1000  Ln

El valor de convergencia luego del proceso de iteración es

L  6.91465 .

L , se utiliza el...