Ejercicio Pendiente Secci N 03 Discusi Hellip
Demostrar su convergencia o no convergencia probando por inducción matemática su
monotonía y acotamiento.
Si converge, encontrar el valor de convergencia L .
ak 1 ln1000 ak , a0 1k 0
Explorando términos:
a0 1
a1 6.90875
a2 6.91464
a3 6.91465
a4 6.91465
Se tiene una idea de no decrecimiento de la sucesión.
Prueba de monotonía.Paso básico:
a0 a1
1 6.90875
El paso básico es verdadero.
Hipótesis inductiva:
ak ak 1
Se asume esta expresión como verdadera.
Paso inductivo:
ak 1 ak 2
Partiendo dela hipótesis inductiva:
ak ak 1
1000 ak 1000 ak 1
ln 1000 ak ln 1000 ak 1
ak 1 ak 2
Por lo tanto la sucesión es monótona.
Prueba de acotamientoPaso básico:
Tomando como cota
M 6.92
a0 M
1 6.92
El paso básico es verdadero.
Hipótesis inductiva:
ak M
Se asume esta expresión como verdadera.
Paso inductivo:
ak 1 M
Partiendo de la hipótesis inductiva:
ak 6.92
1000 ak 1000 6.92
ln 1000 ak ln 1000 6.92
ln 1000 ak 6.91465
ak 1 M
Por lo tanto la sucesión esacotada. La sucesión resulta ser monótona y acotada por lo que se puede
asegurar que converge.
Valor de convergencia
Al demostrar la monotonía y el acotamiento se dice que:
lim ak L lim ak 1
k
k
ak 1 ln 1000 ak
lim ak 1 lim ln 1000 ak
k
k
lim ak 1 ln lim 1000 ak
k
k
L ln 1000 L
Al evaluar ellímite, se genera una ecuación no lineal donde la variable es representada por
método de Newton-Raphson para encontrarlo:
f L L ln 1000 L 0
f ' L 1
1
1000 L
Haciendo uso del método:
Ln1 Ln
Ln ln 1000 Ln
1
1
1000 Ln
El valor de convergencia luego del proceso de iteración es
L 6.91465 .
L , se utiliza el...
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