Ejercicio resuelto de ley de Gauss

ESTUDIO DEL CAMPO ELECTRICO DE UN SISTEMA DE ESFERAS CONCÉNTRICAS CARGADAS, USANDO LA LEY DE GAUSS.


La esfera metálica de radio tiene una carga distribuida en su superficie, donde es ladensidad superficial de carga. La región comprendida entre y se llena con una distribución volumétrica de carga con densidad radialmente uniforme, se decir, El cascarón metálico comprendido entre ytiene una carga (). Hallar el campo eléctrico y el potencial electrostático como función de en todo el espacio. (Sugerencia: use la Ley de Gauss para el cálculo de los campos eléctricos)La ley de Gauss viene dada por:
,
donde significa la carga neta total encerrada dentro de la superficie gaussiana definida por nosotros mismos. Nótese que la toda la carga que pudiera haberfuera de la superficie gaussiana, no interviene para nada en el problema, porque su contribución al flujo eléctrico sobre la gaussiana es cero.

En el caso de las esferas cargadas que estamos estudiando,la simetría del problema nos sugiere usar superficies gaussianas de forma esférica concéntricas con las esferas cargadas. En este caso, el campo eléctrico es siempre paralelo o anti paralelo a ladiferencial de superficie en cada superficie gaussiana y por lo tanto, en este tipo de geometría siempre se cumple que , donde el signo más (menos) corresponde al caso en que y son paralelos(antiparalelos). Adicionalmente sabemos que el módulo del campo eléctrico es constante sobre la superficie gaussiana de radio fijo, ya que el campo sólo depende de su distancia al centro de simetría. Estosignifica que en cada caso, la integral , donde es la superficie de la esfera gaussiana de radio .

Por otra parte, la carga neta encerrada en la gaussiana viene dada por
,
donde es la densidadvolumétrica de carga y donde es el diferencial de volumen de la esfera. Nótese que el límite de integración superior llega sólo hasta la superficie gaussiana de radio . La carga neta debe ser expresada...