Ejercicio resueltos de derivadas e integrales

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ACTIVIDADES DE APLICACIÓN

UNIDAD I
FUNCIONES, LÍMITES Y CONTENIDOS

1.- Entre lo que sigue decir qué es cierto y qué es falso.
a) π ∈ Q
Falso

b) 3 ∈ Z
Cierto

c) –3 ∈ N
Falso

d) −1 ∈ Q
Cierto

2.- Identifica los siguientes intervalos y represéntalos en una gráfica.
a) x ≤ 0 b) 5 〈 x 〈 7 c) − 2 ≤ x ≤ 0

| | | | | | | | ||c) |

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |(b | | | | | | |a) | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | | | | | | |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | | | | | |-∞ | |-10 |-9 |-8 |-7 |-6 |-5 |-4 |-3 |-2 |-1 |0 |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |2.- Si f(x) = __x2-2_ , determina:
x2 + 1
a) f (0)
f(0) = _02 – 2_ = -2
02 + 1

b) f (3a)
f(3a) = _(3a)2 – 2_
(3a)2 + 1

_9a2 – 2_ = 0
9a2 + 1
9a2 – 2 = 0(9a2 + 1)
9a2 = 2
a2 = 2/9
a = [pic]
4.- Señala si las siguientes funciones son pares, impares o ninguna de las dos.
a) f (x) = x2 - 3
f(-x) =(-x)2 – 3 = x2 – 3
Función par

b) f (x) = x6 + 2
f(-x) = (-x)6 + 2 = x6 + 2
Función par

5.- Resuelve los siguientes límites:
lim = _4x3 – 2x2 – 4_
x ∞ 6x3 + 3x + 2

4x3 _ 2x2 _ 4_
= x3 x3 x3_
6x3 + 3x + 2
x3 x3 x3

4x3 _ 2x _ 4_
= x x3
6 + 3 + 2
x2 x3

= 4 – 0 – 0_ = 46 + 0 + 0 6

lim = (2+x)2 – 4_
x 0 x

= x2 + 4x + 4 – 4
x

= x2 + 4x
x

= x (x+4)
x

= x + 4 = 0+4 = 4
UNIDAD II
LA DERIVADA

1.- Aplica la regla de la derivación y calcula la derivada de cada una de las funciones siguientes.
a) y=4x
1.- y + Δy = 4 (x + Δx)
= 4x + 4Δx
2.- y = 4x
Δy = 4Δx
3.-Δy = 4Δx
Δx Δx
Δy = 4
Δx
4.- lim Δy =4
Δx 0 Δx

dy = 4
dx

b) y = 5x
3
1.- y + Δy = 5(x + Δx)
3
= 5x + 5Δx
3
2.- y = 5x/3
Δy = 5Δx
3
3.- Δy = 5Δx
Δx 3Δx
Δy = 5
Δx 3
4.- lim Δy =5Δx 0 Δx 3

dy = 5
dx 3

c) y = 5x2 – x + 1
1.- y + Δy = 5(x+Δx)2 – (x+Δx) + 1
= 5[x2 + 2xΔx + (Δx)2] – (x + Δx) + 1
= 5x2 + 10xΔx + 5(Δx)2 – x – Δx + 1
2.- y = 5x2 + 1
Δy = 10xΔx + 5(Δx)2 – Δx
3.- Δy = 10xΔx + 5(Δx)2 - Δx
Δx Δx Δx Δx
= 10x + 5Δx - 1
4.- lim Δy =10x + 5Δx -1
Δx 0 Δx

dy = 10x -1
dx

d) y = 4__
x2 + 2
y = 4x-2/2
y’ = -8x-3 / 2
= -4x-3
= - 4/x3

2.- Deriva las funciones siguientes respecto a x.
a) y = x3 − x
y’ = 3x2 -1

c) y = 9(x −1)(2x + 3)
u = 9
u’ = 0

v= x-1
v’= 1

w = 2x + 3
w’ = 2

y’ = (9) (0) + (x+1) (1) + (2x+3) (2)
y’ = 0 + x – 1 + 4x + 6
y’ = 5x + 5

d)y = x
y’ = _1_
2√-x2

3.- Deriva las siguientes funciones.
a) y = (5x – 2) 3
y= 125x3 + 150x2 + 60x - 8
y’ = 375x2 + 300x + 60

b) y = √ 1 - x
y’ = ___1___
2 √ 1 - x

c) y = _ ___1___
3x + 4
y = _ _1_ _ _1_
3x 4
y’ = -3x-1-1 – ¼
y’ = 3x-2
y’ = 3 / x2

4.- Calcula hasta la quinta derivada de y =12x3 – 4
y’= 36x2
y’’ =72x
y’’’ = 72
yIV = 0
yV = 0

5.-Calcula la derivada de y con respecto a x en las siguientes funciones por el método de derivación implícita.
x 2 + y 2 = 0
y = √-x2
_d_ (x2) = 2x
dx
_d_ (y2) = 2y dy
dx dx
_d_ (x2 + y2) = 2x + 2y dy
dx dx
2y dy = -2x
dx
dy = -2x
dx 2y
dy = _ __x__
dx √ -x2

6.- Deriva las...
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