Ejercicios Aplicaciones De Las Derivadas

I.E.S. ALTO CONQUERO MATEMÁTICAS II

TEMA: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

1º Calcula los extremos relativos y determina la monotonía de las siguientes funciones:
[pic]
2º Estudia la curvatura de las funciones del ejercicio 1.

3º Estudia los puntos críticos de la función y = x4 – 6x2

4º Halla la altura y el radio que debe tener un bote cilíndrico cuya área total, incluyendolas dos tapas es de 150 cm2, para que su volumen sea máximo.

5º Se desea fabricar una caja sin tapa con base cuadrada y con un área de 300 dm2. ¿Qué dimensiones debe tener la caja para que el volumen sea máximo?

6º Calcula:
[pic]

7º Representa gráficamente las funciones correspondientes a los apartados c, e y h del ejercicio 1.

8º Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde undeterminado punto. La altura en metros alcanzada al cabo de t segundos, viene dada por h(t) = 5-5t-5e-2t
a) Calcula el tiempo transcurrido hasta alcanzar la altura máxima y el valor de ésta.
b) Teniendo en cuenta que la velocidad es v(t)=h'(t), halla la velocidad al cabo de 2 segundos.

9º Se dispone de 28880 euros. para vallar un terreno rectangular colindante con un camino recto. Si elprecio de la valla que ha de ponerse en el lado del camino es de 8 euros/metro y el de la valla de los restantes lados es de 1 euro/metro, ¿cuáles son las dimensiones y el área del terreno rectangular de área máxima que se puede vallar?

10º Determina a, b y c para que la curva [pic]
sea la siguiente

11º Calcula [pic]

12º Determina el valor de las constantes a, c y c sabiendo que lagráfica de la función f: R ° R definida por
f(x) = x(ax2+bx+c) tiene un punto de inflexión en (-2, 12) y que en dicho punto la recta tangente tiene por ecuación
10x +y + 8 = 0.

13º De entre todos los rectángulos de 40 kilómetros de perímetro calcula las dimensiones del que tiene área máxima.

14º Determina una función polinómica de grado 3 sabiendo que verifica que alcanza un máximo en x=1, que sugráfica pasa por el punto (1,1) y que la recta de ecuación y = x es tangente a su gráfica en el punto de abscisa x=0.

15º Sea f la función definida para x ≠ 2 por f(x) =[pic]
a Halla las asíntotas de la gráfica de f.
b Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos locales de f..
c Teniendo en cuenta los resultados de los apartados anteriores, haz un esbozo de lagráfica de f.
16º Se ha observado que en una carretera de salida de una gran ciudad la velocidad de los coches entre las 2 h. y las 6 h. De la tarde viene dada por v(t) = t3 - 15t2 + 72t + 8 para t Є [2,6].
a) ¿A que hora circulan los coches con mayor velocidad? Justifica la respuesta.
b) ¿A que hora circulan los coches con menor velocidad? Justifica la respuesta.

17º Una empresa quierefabricar vasos de cristal de forma cilíndrica con una capacidad de 250 centímetros cúbicos. Para utilizar la mínima cantidad de cristal, se estudian las medidas apropiadas para que la superficie total del vaso sea mínima. Cuales deben ser dichas medidas? Justifica la respuesta.

18º Sea f: R → R la función dada por f(x) =|8 – x2|.
a) Esboza la gráfica y halla los extremos relativos de f (dónde sealcanzan y cuáles son sus respectivos valores).
b) Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con la recta tangente a la misma en el punto de abscisa x = -2.

19º Considera la función f : (- ∞ , 10) → R definida por f(x) = [pic]
a) Determina el valor de a sabiendo que f es continua (y que a > 0). b) Esboza la gráfica de f.
c) Estudia la derivabilidad de f.

20º Determina bsabiendo que existe y es finito el límite [pic]. Calcula dicho límite.
21º Calcula a) [pic] b) [pic]
22º Considera la función f : R → R definida por f(x) = [pic]
a) Calcula las asíntotas de la gráfica de f
b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan).
23º Sea f la función f(x) = [pic] para x ≠...