Ejercicios de álgebra lineal

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ALGEBRA LINEAL

1. Considere la reacción química:

[pic]

Para cada uno de los dos reactivos de la izquierda y los cuatro productos de la derecha, construya un vector en [pic] que enumere el número de “átomos por molécula” de plomo (Pb), nitrógeno (N), cromo (Cr), manganeso (Mn) y oxígeno (O), en ese orden.
a. Denote por [pic] el número de moléculas de cada tipo que se necesitanpara balancear la ecuación anterior y escriba una ecuación vectorial que estas variables deban satisfacer.
b. Pasando todas las incógnitas a la izquierda, reescriba la ecuación vectorial de (a) en la forma [pic] y resuelva. Hay una infinidad de soluciones matemáticas. Encuentre la que tenga más sentido químico.
(4 ptos.)

2. Una población de moscas se divide en tres grupos de edades: A, B yC. En el grupo A se encuentran las moscas de 0 a 1 semanas de edad, en el B están las de 1 a 2 semanas, y en el C las de 2 a 3 semanas. Suponga que los grupos tienen Ak, Bk y Ck cantidades de moscas al final de la k-ésima semana. Se desea estudiar cómo varían A, B y C al paso del tiempo, dadas las dos condiciones siguientes:
a) Tasa de supervivencia: Al término de una semana, sólo sobreviveel 10% del grupo A. Por consiguiente:[pic]. Y al término de una semana sólo sobrevive el 40% del grupo B, es decir: [pic]
b) Tasa de natalidad: Cada insecto del grupo A tiene un promedio de [pic] de descendientes, cada uno del grupo B tiene 4 descendientes y cada uno del grupo C tiene 5. En la semana k+1, los insectos del grupo A son descendientes de los insectos en la semana k. Enconsecuencia: [pic].

Si la población de moscas se inicia con 1000 en cada grupo de edad, represente en forma matricial el sistema dinámico que modela a esta población, es decir, una ecuación de la forma [pic] que describa los cambios con el paso del tiempo. Calcule cuántas moscas hay al final de la tercera semana.
(4 ptos.)

3. Califique cada afirmación como verdadera o falsa. Justifique cadarespuesta.
a. Si [pic] es una matriz n x n invertible, entonces el determinante de la adjunta clásica de [pic] es igual a [pic].
b. Cualquier sistema de n ecuaciones lineales con n variables se puede resolver con la regla de Cramer.
c. Si [pic] es una matriz n x n y [pic], entonces [pic] no es invertible.
d. Si [pic] es una matriz n x n y [pic] no es invertible, entonces [pic] no esinvertible.

Nota: Sólo se corregirá las respuestas que hayan sido justificadas. (4 ptos.)

4. Utilice operaciones por fila para demostrar que:

a) [pic] b) [pic] (2 ptos c/u)

5. Resolver el sistema [pic], empleando una factorización [pic]:
[pic]

¿Cuál sería [pic] para [pic]?
(4 ptos.)

Solución

Pregunta 1.

Los vectores en [pic] queenumeren el número de “átomos por molécula” de plomo (Pb), nitrógeno (N), cromo (Cr), manganeso (Mn) y oxígeno (O) en ese orden, serían:

En el reactivo [pic] hay 1 átomo de plomo (Pb) y 6 átomos de nitrógeno (N). Por tanto el vector correspondiente sería: [pic]. De igual forma para el otro reactivo y los productos tenemos los vectores:

[pic], [pic], [pic], [pic], [pic]

a) La ecuaciónvectorial que balancea el número de átomos sería:

[pic]

b) Pasando todas las incógnitas a la izquierda:

[pic]

Planteando la ecuación matricial [pic] equivalente tenemos que:

[pic]

Para resolver la ecuación [pic] hallamos la forma escalonada reducida de [pic] mediante operaciones elementales de fila:

[pic][pic][pic][pic]

[pic][pic][pic][pic]

[pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic]

[pic][pic][pic][pic]

[pic][pic][pic]

Escribiendo el sistema de ecuaciones lineales correspondiente:

[pic] [pic] [pic]

Hay infinitas soluciones porque [pic] es una variable libre. Sin embargo, para que tenga sentido químicamente, todos los valores de [pic] deben ser enteros positivos. La solución entera cuyos valores son lo más pequeño posible corresponden a [pic]....
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