EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE INTEGRALES

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE INTEGRALES





ARVEY ALEJANDRO SILVA SUAREZ 20132123315
JUAN DAVID GASCA QUIMBAYO 20121110041



PROFESOR: YAMIL ARMANDO CERQUERA
CURSO: METODOS NUMERICOS







UNIVERSIDAD SURCOLOMBIANA
FACULTAD DE INGENIERIA
NEIVA-HUILA
2014

EJERCICIO 18
El cuerpo de revolución mostrado se obtiene al girar la curva dada por [1] con en torno al eje x. El área del solido estádado por: [2] y el volumen [3]


FIGURA 1. GRAFICA SOLIDO EN REVOLUCION
Antes de empezar a desarrollar el ejercicio se debe analizar detenidamente para así conseguir un desarrollo exitoso.

Analizamos los datos que nos proporcionan

En el ejercicio nos dan la función que se hace revolucionar para formar el sólido, también nos proporcionan la función que representa el área ocupada por el sólido,la cual si se integra entre los límites obtendremos el volumen del sólido.

Lo que debemos saber para dar solución al ejercicio

El ejercicio nos pide el volumen del sólido que está en revolución, para lo cual nuestra incógnita es el Volumen, el cual se calcula integrando la función.

Lo que debemos hacer

Lo que debemos hacer es integrar la función [2] de la forma como está la [3] para hallar elvolumen real del sólido.


Desarrollamos el cuadrado e integramos:



De esta manera estamos dando solución al volumen del sólido tan solo por la integral, ahora se procede a hallar el volumen por el método Trapezoidal.

CODIGO EN MATLAB DEL METODO TRAPEZOIDAL
li=input ('digite limit inferior');
ls=input ('digite limit superior');
n=input('digite No de sub areas');
s=input('digite la funcionF(x)','s');
f=inline (s,'x');
dx=(ls-li)/n;
s=0; i=1;
while i<=n
s=s+f(li+(2.*i-1)*dx/2);
i=i+1;
end
at=dx*s

Resultado
At= 0.02*586.4202
At= 11.7284




Ahora se procede a hallar el volumen por el método Simpson 1/3

CODIGO EN MATLAB DEL METODO SIMPSON 1/3
%simspon 1/3
clc
li=input('dig lim inf');
ls=input('dig lim sup');
n=input('numero d areas');
f=input('digi funcion','s');F=inline(f,'x');
h=(ls-li)/(2*n);
s=0;
i=1; while i<=n
s=s+4*F(li+(2*i-1)*h)+ 2*F(li+2*i*h);
i=i+1;
end
at=h/3*(F(li)-F(ls)+s);
disp(at)

Resultado
s =
3.5280e+003

at=11.7286




Nos damos cuenta que el método Simpson 1/3 con el mismo número de sub áreas nos da un error de 0.

Ahora se procede a hallar el volumen por el método Simpson 1/8

CODIGO EN MATLAB DEL METODO SIMPSON 3/8
%simpson 3/8s=input('digi funcion','s');
F=inline(s,'x');
li=input('dig lim inf');
ls=input('dig lim sup');
n=input('numero d areas');
dx=(ls-li)/(3*n);
s=0
i=1;
while i<=n
x1=li+(3*i-2)*dx;
x2=li+(3*i-1)*dx;
x3=li+(3*i)*dx;
s=s+3*F(x1)+3*F(x2)+2*F(x3);
disp([F(x1) F(x2) F(x3)]);
i=i+1;
end
A=3*dx/8*(F(li)-F(ls)+s)

RESULTADOS
s =4.7009e+003
A =11.7286

Al igual que simpson 1/3, estemétodo con el mismo número de sub áreas nos da un error igual a 0 por lo tanto podemos concluir que los métodos de simpson tienen mayor efectividad que el de trapezoidal.

Ejercicio 10.
Si se conoce la distribución de la velocidad de un fluido a través de una tubería, es posible calcular la rapidez del flujo Q (es decir, el volumen de agua que pasa a través de la tubería por unidad detiempo) mediante . Donde v es la velocidad y A es el área de la sección transversal de la tubería. En un tubo circular: A=πr2 y dA=2πrdr. Por tanto:



Donde r es la distancia radial medido desde el centro de la tubería. Si la distribución de la velocidad está dada por:



Donde r0 es el radio total (en este caso, 2cm)

a) Determinar Q utilizando el método de simpson para N=10,20,30 intervalos
b)Determinar el error máximo cometido en el ítem anterior
c) ¿Cuántas particiones se requieren como mínimo para que se obtenga el valor de la integral con un error inferior a 0,001?


DESARROLLO DEL EJERCICIO

Tenemos que:


Y también tenemos que la velocidad viene dada por:


De este modo, la integral quedaría:



Teniendo en cuenta la condición que nos da el ejercicio de que r0 es 2 cm, la integral...