ejercicios de complejos 1° bachiller

IESARAMO

MATEMÁTICAS 1º BACH. CNS

COMPLEJOS II
1. Si z y w son dos números complejos, demuestra que z  w  z  w
2. Sean los complejos z  

2



2

6
2

i y w  1  3 i . Se pide

(a) Forma polar de z y w
(b) Calcular

(c) Las raíces cuartas de

z
w

z
en forma polar y binómica
w

(d) Representar gráficamente las raíces cuartas.

3. En un triánguloisósceles ZOX tenemos ZO=ZX=13 cm y OX=24 cm. El punto W, situado en la
prolongación de ZO dista 13 cm de O.
a) Calcula la longitud de WX por métodos trigonométricos
b) Si O es el origen de coordenadas y X el afijo del complejo x=24+0i, halla dos complejos z y
w cuyos afijos puedan ser los puntos Z y W del enunciado. Representación gráfica.
c) Halla el complejo x - w. ¿Qué relación hay entre lalongitud de WX hallada en el apartado a)
y el módulo del complejo x - w?
 3z  w  6i
4. Resuelve el sistema 
 z  wi  1  i
5. Halla el módulo y el argumento del complejo z 
y binómica los complejos z, -z, 1/z
anteriores.
6. Halla k para que w=

( k  3i ) (1  i ) 3

 3  i

6

2



3  2i sen 62º i cos 62º 
y da en forma polar
cos 31º i sen 31º 

y z .Representa gráficamente los números complejos

sea un número real.

7. Da en forma binómica la solución de la ecuación

z 1
 a  bi . ¿Hay algún valor del complejo
z

a+bi para el que no tenga solución?
4

 z 1
8. Resuelve la ecuación: 
 1
 z 
9. Calcula el módulo, argumento, inverso y conjugado del complejo z 

w  1 z  z 2  z 3  z 4  z 5

1
3

i y el complejo
2 2IESARAMO

MATEMÁTICAS 1º BACH. CNS

SOLUCIONES COMPLEJOS II
1.- Si z y w son dos números complejos, demuestra que z  w  z  w
Demostración:
a) En forma polar: Si z=m y w=r , como z  z

y arg(z)=-arg( z )

z  w  m  r  ( m  r )    ( m  r )(    )  m  r   z  w
b) En forma binómica:

( a  bi )  ( c  di )  ( ac  bd )  ( ad  bc )i  ( ac  bd )  (ad  bc )i  ( ac  bd )  ( ad  bc )i 
 ( a  bi )  ( c  di )  ( a  bi )  ( c  di )
2

2.- Sean los complejos z  

2

(a) Forma polar de z y w
(b) Calcular



6
2

i y w  1  3 i . Se pide
(c) Las raíces cuartas de

z
w

z
en forma polar y binómica
w

(d) Representar gráficamente las raíces cuartas.

Resolución:
(a) z    2 
 2 

w 




arcsen  6 / 2   arcsen  23  
2

2

2 
6





z
  2 ; arg( z )  


2
/
2
 2 
  arccos  1  3
arccos 

2 

2 



 

 3

2



arcsen 

arg( w )  
 arccos


 2;

3 
2  

1 
2 

 

 2

2
 w  2 2
3
3

2 2  2 
z
2
2
3

   

0i
w
2 2
2
2
2 
0
3

b)

c)

 1

2

2

4

z


 4  22    4 22 
  8 1  0  k 2
0

k
2

 0 
 2
w

4

4








, k  0 , 1, 2 , 








 1 

  1 c
1
8 
82
 2 0
 1 

  1 ic
2
8 
82
 2 
2

 1 

  1 c
3
8 
82
 2 
 1 

  1 ic
4
8 
82
 2  3
2

z
2d) Los afijos de las raíces cuartas del complejo 
son los vértices de un cuadrado inscrito en una
2
w

1

circunferencia de centro el origen de coordenadas y de radio
8
2

2

3

2

Se cumple: c2=c1·i; c3=c2·i =c1·i ; c4=c3·i= c2·i =c1·i
Cada raíz cuarta se obtiene multiplicando la anterior por i=1/2



8

128
2

2
3

IESARAMO

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3.En un triángulo isósceles ZOX tenemos ZO=ZX=13 cm y OX=24 cm. El punto W, situado en la
prolongación de ZO dista 13 cm de O.
d) Calcula la longitud de WX por métodos trigonométricos
e) Si O es el origen de coordenadas y X el afijo del complejo x=24+0i, halla dos complejos z y
w cuyos afijos puedan ser los puntos Z y W del enunciado. Representación gráfica.
f) Halla el complejo x - w. ¿Qué...