Ejercicios de ecuaciones

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BLOQUE 1
Clasifique cada una de ellas como ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales, lineal o no lineal, proporcione el orden e indique las variables independientes y las dependientes.
5: fusión nuclear
∂u/∂t= (∂^2 u)/(∂r^2 )+ 1/r ∂u/∂t+ ku
Ecuación Diferencial Parcial (E.D.P.) de segundo orden, no homogénea.
Variable dependiente es: u; Variable independiente es: t
BLOQUE 2Compruebe si expresión dada es solución de la ecuación diferencial. Donde sea adecuado suponga que C1 y C2 son constantes.
10:
x^2 y+y^2=C_1 ; 2xy dx+(x^2+ 2y)dy=0
2xy dx+(x^2+ 2y)dy=0

M= 2xy dx
∂M/∂x=2x
N=(x^2+ 2y)dy
∂N/∂Y=2x

Es una ecuación exacta, por lo tanto se aplica el método de ecuaciones exactas y resolvemos:
∫▒〖Mdx= 〗 ∫▒2xydx
∫▒〖Mdx= 〗 x^2 y
∂/∂y ∫▒〖Mdx= 〗 x^2
g^' (y)=N- ∂/∂y ∫▒〖Mdx 〗
g^' (y)=x^2+ 2y- x^2 (x^2 y)
g^' (y)=x^2+ 2y- x^4 y
g(y)= ∫▒〖〖(x〗^2+ 2y- x^4 y ) dy〗
g(y)= x^2 y+ y^2- (x^4 y^2)/2+C
F(x,y)= x^2 y+x^2 y+y^2- (x^4 y^2)/2+C
F(x,y)= 2x^2 y+y^2- (x^4 y^2)/2+C
F(x,y)= 2x^2 y+y^2 (1-x^4/2)+C
2x^2 y+y^2 (1-x^4/2)+C=0
C=-2x^2 y-y^2 (1-x^4/2)
15:
{█(x=cos⁡(t)@y=sen (t) )┤
x+yy^'= 0
Derivamos la función que esta estructurada porpartes:

x=cos⁡(t)
(dx )/dt= -sen (t)
y=sen⁡(t)
(dy )/dt= cos(t)

Reemplazamos:
cos⁡〖(t)+sen(t) cos⁡(t)=0〗
cos⁡〖(t)[sen(t)+1]=0〗

20:
y= C_1 e^3x+ C_2 e^(-4x); y^''+ y^'- 12y=0
Desde y encontramos la primera y segunda derivada:
y= C_1 e^3x+ C_2 e^(-4x)
y^'= 3 C_1 e^3x-4 C_2 e^(-4x)
y^''= 9 C_1 e^3x+16 C_2 e^(-4x)
Reemplazando en la función:
y^''+ y^'- 12y=0
[9 C_1e^3x+16 C_2 e^(-4x) ]+[ 3 C_1 e^3x-4 C_2 e^(-4x) ]- 12[C_1 e^3x+ C_2 e^(-4x) ]= 0
9 C_1 e^3x+16 C_2 e^(-4x)+ 3 C_1 e^3x-4 C_2 e^(-4x)- 12C_1 e^3x-12C_2 e^(-4x)= 0
9 C_1 e^3x+3 C_1 e^3x-- 12C_1 e^3x= 12C_2 e^(-4x)-16 C_2 e^(-4x)+ 4 C_2 e^(-4x)
0=0
Para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales encuentre el valor o valores de m de forma tal que = sea una solución de laecuación diferencial dada.
25:
x^2 y^''+6xy^'+ 4y=0
Hallamos las derivadas correspondientes:
y=x^m
y'=mx^(m-1)
y^''=m(m-1) x^(m-2)
Reemplazamos en la ecuación:
x^2 [m(m-1)x^(m-2)]+6x[mx^(m-1)]+ 4x^m=0
m(m-1) x^m+ 6mx^m+ 4x^m=0
x^m [m^2+ 5m+4]= 0
(m+4)(m+1)= 0
m= -4
m= -1
BLOQUE 3
Use el teorema de existencia y unicidad para determinar si existen soluciones únicas para cada uno delos siguientes problemas de valores iniciales:
30:
Muestre que: y= 1/4 〖(x+c)〗^2 e y = 0 son soluciones de la ecuación diferencial y^' 0 √y. Discuta sobre la relación de estas soluciones con el teorema de existencia y unicidad.
y= 1/4 〖(x+c)〗^2
dy/dx= √y
dy/√y= dx
∫▒〖y^(-1/2) dy= 〗 ∫▒〖dx 〗
2y=x
y=x/2
x/2=1/4 (x+c)^2
x/2=x^2/4
NO ES SOLUCION

BLOQUE 4
Resuelva cada una de lassiguientes ecuaciones diferenciales (HOMOGÉNEAS)
35:
y^'= (x^2- y^2)/(x^2+ y^2 )
dy/dx= (x^2- y^2)/(x^2+ y^2 )
(x^2+ y^2 )dy-(x^2- y^2 )dx=0
Dividimos toda la ecuación para x2 y nos queda:
(1+ y^2/x^2 )dy-(1- y^2/x^2 )dx=0
(1+ y^2/x^2 )dy=(1- y^2/x^2 )dx
dy/dx= ((1- y^2/x^2 ))/((1+ y^2/x^2 ) )
Realizamos el cambio de variable:

y/x=v
y^2/x^2 =v^2

y=xv
dy/dx=v+x dv/dx
Se hacen losreemplazos correspondientes:
v+x dv/dx=〖1-v〗^2/〖1+v〗^2
x dv/dx= 〖1-v〗^2/〖1+v〗^2 - v
〖1-v〗^2/〖1+v〗^2 - v= (〖1-v〗^2- v 〖- v〗^2 )/〖1+v〗^2
∫▒1/((〖1-v〗^2- v )/(1+v)) dv=∫▒1/x dx
∫▒(1+v)/(〖1-v〗^2- v) dv=∫▒1/x dx
- ∫▒(1+v)/(v^2+ v-1) dv=ln⁡〖x+C〗
Trabajamos con el polinomio:
v^2+ v-1
(v^2+ v + 1⁄4)- 1- 1⁄4
(v+ 1/2)^(-2)= v^2+ v + 1⁄4
Continuamos resolviendo:
- ∫▒(1+v)/((v+1/2)^2- 5/4 ) dv
∫▒1/((v+ 1/2)^2- 5/4 ) dv+ ∫▒v/((v+ 1/2)^2- 5/4 ) dv

40:
(xy+ 〖y^2+ x〗^2 )dx – x^2 dy=0
(xy+ 〖y^2+ x〗^2 )dx= x^2 dy
dy/dx= ((xy+ 〖y^2+ x〗^2 ))/x^2
dy/dx=xy/x^2 +y^2/x^2 +x^2/x^2
dy/dx=y/x+y^2/x^2 +1
Hacemos un cambio de variable:
v=y/x
y=vx
dy/dx=x dv/dx+ v
G (v)= x dv/dx+ v
G (v)- v= x dv/dx
(G (v)- v)dx= x dv
(G (v)- v)dx= x dv
∫▒dx/x= ∫▒dv/((G (v)- v) )...
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