Ejercicios De Integrales

SUMARIO


EJERCICIOS PROPUESTOS DE LAS FORMULAS BASICAS 1
INTEGRACIÓN POR PARTES 3
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA 6
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES 10
AREAS PLANAS 14
ÁREAS 18
VOLÚMENES 21

INTEGRALES

EJERCICIOS PROPUESTOS DE LAS FORMULAS BASICAS

5. Calcular la siguiente integral indefinida inmediata: 31+lnxxdx

Sol.

Sea: u=1+lnx ;du=dxx

31+lnxxdx=u1/3.du

=u13+113+1+k= u4/343+k

=343(1+lnx)4+k = 34(1+lnx)4/3+k

15. Calcular la siguiente integral indefinida inmediata: x (x3/2-4)3 . dx

Sol.

Sea: u=x3/2-4 ; du=32 x12 .dx → 23du=x12 . dx

x (x3/2-4)3 dx= (u)3 . 23 du

= 23 u3 du = 212u4+k

=16 (x3/2-4)4+k

25. Calcular la siguiente integral indefinida inmediata:x . dx6 + (3 + 2x2)2

Sol.

Sea: u=3+2x2 ; du=4x . dx → du4=x . dx

x . dx6+ (3+ 2x2)2 . dx= 14du62+u2

Tenemos: duu2+a2= 1a arctg ua+k

= 14 . 16 arctg u6

= 146 arctg (3+ 2x26)

35. Calcular la siguiente integral indefinida inmediata: dxsen2x 3ctg x-1

Sol.

Sea: u=ctg x-1 ; du= -csc2x . dx
du= -1sen2x dx → -du=dxsen2xdxsen2x 3ctg x-1= -duu1/3

= -u-13. du = -32 u23+k

= -32 ctg x-123+k

45. Calcular la siguiente integral indefinida inmediata: dxx2-4x+8

Sol.

Resolviendo de: x2-4x+8= x-22+4

dxx2-4x+8 = dx(x-2)2+22

Tenemos: duu2+a2= 1a arctg ua+k

12 arctg x-22+k

INTEGRACIÓN POR PARTES

14.Calcular la siguiente integral: 7+x-3x2 e-x . dx

Sol.

Sea: u=7+x-3x2 → du=1-6x . dx

dv=e-x. dx → dv= e-x. dx ; v=-e-x

7+x-3x2 e-x . dx = 7+x-3x2 e-x - -e-x1-6x. dx

=3x2-x-7 e-x + e-x 1-6x dx

De: e-x 1-6x dx
Sea: u=1-6x → du=-6dx
dv=e-x. dx → v=-e-x

3x2-x-7e-x +1-6xe-x- -e-x . -6dx

3x2-x-7 e-x+6x-1e-x -6e-x . dx3x2+5x-8e-x +6e-x+k

3x2+5x-2e-x+k

24. Calcular la siguiente integral: arctg x.dx

Sol.

Sea: u=arctg x → du= dx1+x
dv=dx → v=x

arctg x.dx= x. arctg x - x. dx1+x

=x. arctg x - 1- 11+xdx

=x. arctg x - dx+ dx1+x

=x. arctg x -x+arctg x +k

34. Calcular la siguiente integral: x arctg x(1+x2)2 .dx

Sol.

x arctg x(1+x2)2 dx= x arctgx1+x2(1+x2)dx

x2+1
x2+1

1
1
x
x
Sea: z=arctg x → tg z=x ; dz=dx1+x2

x arctg x1+x2(1+x2)dx= tg z . z(1+tg2z)dz

= z .tg zsec2zdz=z . senz(cosz)dz

De:z . senz(cosz)dz
Sea: u=z → du=dz
dv= sen z (cosz) dz → v=sen2z2

= z . sen2z2- 12sen2z .dz=z . sen2z2- 121-cos2z2dz

= z . sen2z2 - 14dz- cos2z . dz

= z. sen2z2- 14z+ 14. sen 2z2+k

= z. sen2z2-z4+ sen z (cosz)4+k

= arctg x. xx2+122-arctg x4+ xx2+11x2+14+k

= x2. arctg x2(x2+1)- arctg x4+ x4(x2+1+k

46. Calcular la siguiente integral: 9x. tg23x. dx

Sol.

Sea: u=9x → du=9dx
dv= tg23x. dx → dv=(sec23x-1)dx ; v=tg 3x3-x

Tenemos: u. v - v. du

9x. tg23x. dx=9xtg 3x3-x- tg 3x3-x9dx

=(3x. tg 3x- 9x2)-9(13tg 3x. dx- x. dx)

=3x. tg3x-9x2-3-lncos3x3+ 9x22+k

=3x. tg 3x- 9x2+3lncos3x3+ 9x22+k

=3x. tg 3x+lncos3x-9x22+k

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

6. Calcular la siguiente integral: 1+x2+1(x2+1)3/2dx

Sol.

1+x2+1(x2+1)3/2dx= 1+x2+1(x2+1 x2+1dx

x2+1
x2+1

x
x
Sea: x=tg θ → dx=sec2θ

1
1

1+x2+1(x2+1 x2+1dx= 1+tg2θ (sec2θ. dθ)tg2θ+1 (tg2θ+1)

→ 1+secθ (sec2θ. dθ)secθ(sec2θ)

1+secθsecθdθ= 1secθ+secθsecθdθ

= cosθ. dθ + dθ → sen θ+ θ+k

=xx2+1+actg x+k

15. Calcular la siguiente integral: (x+1)9-x2dx

Sol.

* Hacemos: x=3sen θ ; dx=3cosθ . dθ

(x+1)9-x2dx= (3 sen θ+1)9-9sen2θ. 3cosθ. dθ

= 3 sen θ+1 . 3cosθ. dθ3cosθ= 3 sen θ+1dθ

= sen θ. dθ + dθ

3
3

x
x

Tenemos de *: sen θ= x3 → θ=arcsenx3
9-x2...