Ejercicios de maximos y minimos de varias variables

MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES
4xy

2004

1.-Dada la función f(x, y) =

(x + 1)(y + 1)
2 2

, se pide:

a) Hallar los puntos críticos y estudiar si en ellos hay extremosrelativos. b) Calcular los extremos absolutos en el recinto R= {(x,y)∈R20 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}

2.- Una empresa fabrica 2 productos A y B. Los ingresos totales por la venta de x unidades
de A e yunidades de B vienen dados por la función: I(x,y) = -5x2-8y2-2xy+42x+102y Hallar x e y para que los ingresos por los productos A y B sean máximos.

3.-Sea k una constante real y sea la superficie deecuación f(x,y) = x2+ kxy + y2. Se pide:
a) Probar que, para cualquier valor de k, el origen (0,0) es un punto crítico de f. b) Hallar los valores de k para los que f presenta un mínimo relativo en(0,0).

4.- Encontrar los puntos donde la función f(x,y)= x2+ y2- xy – x - y

2 máximo y mínimo absolutos en el recinto A= (x, y ) ∈ R tales que x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 3 .

{

alcanza susvalores

}

5.- Hallar los puntos de la parábola y=(x-2)2 que están a menor distancia del punto (2,1). 6.- Aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar las distancias máxima ymínima de un punto de la elipse x2+4y2=4 a la recta x+y=4

7.- Usar multiplicadores de Lagrange para calcular las dimensiones de un depósito cilíndrico
circular recto de volumen 8π m3 y área mínima.

22 8.- Una placa circular plana tiene de ecuación x + y ≤ 1 . La placa, incluyendo la frontera, se calienta de manera que la temperatura en cada punto (x,y) viene dada por T(x,y)= x2+2y2-x. a) Dibujarla isoterma T(x,y)= 10. b) Hallar la temperatura máxima y mínima en la frontera. c) Hallar la temperatura máxima y mínima absoluta en toda la placa.

Ejercicios propuestos
Hallar los máximos ymínimos relativos y absolutos de las funciones : 1) z = x2 + y 2 + 2xy

2) z = y + x sen y 3) z = ex cos y 4) z = x sen y 5) Hallar los valores de k para los que la función f ( x, y ) = x2 + 3xy +...
tracking img