Ejercicios De Optimización Resueltos

Matemáticas II

Funciones: optimización

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PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Planteamiento y resolución de los problemas de optimización Se quiere construir una caja, sin tapa, partiendo de una lámina rectangular de 32 cm de larga por 24 de ancha. Para ello se recortará un cuadradito en cada esquina y se doblará. ¿Cuál debe ser el lado del cuadradito cortado para que el volumen de la cajaresultante sea máximo? A partir del enunciado puede seguirse el proceso que se detalla a continuación: 1. Determinar el objetivo del problema: lo que hay que hacer máxima o mínima. En el ejemplo anterior el objetivo es que el volumen de la caja sea máximo. 2. Expresar en forma de función tal objetivo. La caja es un prisma rectangular: volumen = área de la base por la altura. Para mejor comprensiónconviene hacer un dibujo.

24 x 32

x 32  2x

24  2x

Si se corta un cuadradito de lado x, el volumen de la caja obtenida será: V  (32  2 x)(24  2 x) x  V  4 x 3  112 x 2  768x 3. Los puntos máximos o mínimos se encuentran, si existen, entre las soluciones de V ´ 0 . 28  208 (hemos simplificado) V ´ 12 x 2  224 x  768  0  x  3 Se obtienen x  4,53 y x  14,14 4. Para ver cuál deellos es el máximo hacemos V ´´ 24 x  224 y sustituimos. Como V ´´(4,53)  0 y V ´´( ,14)  0 , el máximo se da para x = 4,53. Esta es la solución 14 buscada. Nota: El valor x = 14,14 no es posible, pues 24 cm no da para cortar dos trozos de tamaño 14,14 cada uno.

José María Martínez Mediano (www.profes.net)

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Funciones: optimización

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PAJ05

1. Se dispone de unatela metálica de 100 metros de longitud para vallar una región como la de la figura. ¿Cuáles son los valores de x e y que hacen que el área encerrada sea máxima? (2,5 puntos) Solución: Se trata de un problema de optimización. Objetivo: que el área de la figura sea máxima. La figura está formada por un triángulo equilátero de lado x y por un rectángulo de lados x e y. 3 x· x 2  3 x 2 . Véase lafigura. Área del triángulo: AT = 2 4

3  x x La altura del triángulo es: h  x 2     2 2

2

Área del rectángulo: AR = xy Área total: A 

3 2 x  xy 4
3 x 2

Condición: perímetro de la figura = 100 m  100 = 3x + 2y  y  50  Sustituyendo en la expresión anterior, se tiene:
A( x)  3 2 3 x  50 x  x 2 4 2

Esta función alcanza el máximo en las soluciones de A´(x) = 0 quehacen negativa a A´´(x).

A´(x) 

100 100(6  3 ) 3 6  x  50  0  x  33 2 6 3

3 6  0 , para ese valor hallado se tendrá el máximo buscado. 2 50(6  3 ) El valor de y será: y  50  . 11
Como A´´(x) 

José María Martínez Mediano (www.profes.net)

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Funciones: optimización

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PAS05

2. Se dispone de una tela metálica de 100 metros de longitud para vallar unaregión rectangular. ¿Cuáles son los valores de x e y , dimensiones del rectángulo, que hacen que el área del romboide, formado por la unión de los puntos medios de los lados, sea máxima? (2,5 puntos) Solución: Se trata de un problema de optimización. Objetivo: que el área del romboide sea máxima. Su área es la mitad que la del rectángulo. Por tanto: Área del romboide: AR =

x·y . 2Condición: perímetro del rectángulo = 100 m  100 = 2x + 2y  y  50  x Sustituyendo en la expresión anterior, se tiene:

A( x)  25 x 

1 2 x 2

Esta función alcanza el máximo en las soluciones de A´(x) = 0 que hacen negativa a A´´(x).
A´(x)  25  x  0  x  25

Como A´´(x)  1  0 , para ese valor hallado se tendrá el máximo buscado. El valor de y será: y  25 . Por tanto, tanto elrectángulo como el romboide son cuadrados. El “rectángulo” tendrá lado 25 25; el “romboide” será un cuadrado de lado . 2

José María Martínez Mediano (www.profes.net)

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Funciones: optimización

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CTS05

3. Considera la función f ( x)  3  x 2 y un punto de su gráfica, M, situado en el primer cuadrante (x  0, y  0). Si por el punto M se trazan paralelas a los ejes de...