Ejercicios de probabilidad

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GUÍA DE EJERCICIOS DE PROBABILIDADES

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REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN
Se utiliza para calcular la probabilidad de ocurrencia simultánea de dos o más eventos

Si los eventos
 A y B son dependientes
, entonces la ocurrencia de un evento tiene efecto sobre laprobabilidad de ocurrencia del otro evento, por lo tanto la ocurrencia simultánea de los eventos es:P(A∩
B) = P(A) P(B/A)
Ejemplo
: Suponga que se extrae dos cartas, una a la vez sin reemplazo, de una baraja ordinaria. ¿Cuál esla probabilidad de que ambas cartas sean ases?A: un as en la primera extracciónB: un as en la segunda extracciónP(A
∩
B) = P(A).P(B/A) = (4/52).(3/51) = 0.0045
Ejemplo
: Supongamos que se extrae al azar dos frutas, de una bolsa que contiene 4 manzanas, 6 naranjasy 5duraznos. Se obtiene una muestra sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga unanaranja y una manzana, en ese orden?A: Extraer una naranja en la primera extracciónB: Extraer una manzana en la segunda extracción dada una naranja en la primera extracciónP(A
∩
B) = P(A) P(B/A) = (6/15).(4/14) = 0.1143

Si los eventos
 A y B son independientes
, entonces la ocurrencia de un eventono tiene efecto sobre laprobabilidad de ocurrencia del otro, por lo tanto la ocurrencia simultánea de los eventos esP(A
∩
B) = P(A) P(B)
Ejemplos
: Supongamos que lanzamos un par de dados legales una sola vez. ¿Cuál es la probabilidad deobtener un 2 en el primer dado y un 4 en el segundo?A: Obtener 2 en el primer dadoB: Obtener 4 en el segundo dadoP(A
∩
B) = P(A) P(B) = 1/6 x 1/6 = 1/36Ejemplos
: Supongamos que se extrae una muestra aleatoria de una bolsa de frutas. La bolsa contiene 4manzanas, 6 naranjas y 5 duraznos. Si se selecciona 2 frutas, una a la vez, con reemplazo. ¿Cuál es laprobabilidad de que se obtenga una naranja y una manzana en ese orden?A: Obtener una naranjaB: Obtener una manzanaP(A
∩
B) = 6/15 * 4/15 = 24/225
PROBABILIDAD CONDICIONAL
La probabilidad de queocurra un evento B cuando se sabe que ha ocurrido algún otro evento A, sedenomina PROBABILIDAD CONDICIONADA y se designa como P(B/A). Él símbolo P(B/A) se lee como laprobabilidad de que ocurra B sabiendo que ocurrió A o sencillamente probabilidad de B dado A Lasprobabilidades condicionadas están relacionadas a probabilidades asociadas a los eventos definidos ensubpoblaciones o espacios muéstralesreducidos.Se dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento dado es condicionada, si esta se afecta por laocurrencia de otro evento presente.P(B/A) =
)()()()(
 A P  BA P  A P  A B P 
=∩
, si P(A) ≠ 0
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Ejemplo:
Un profesor de matemáticas da clases en una sección matutina y una vespertina de introducciónal cálculo.Sea A = {el profesor da una mala conferenciamatutina} yB = {el profesor da una mala conferencia vespertina}.Si P(A) = 0.3, P(B) = 0.2 y P(AB) = 0.1, calcule las siguientes probabilidades.a) P(B/A) b) P(B
c
/A) c) P(B/A
c
)a)
33.03.01.0)()()/(
===
 A P  BA P  A B P 
 b)
67.03.01.03.0)()()()()()/(
=−=−==
 A P  AB P  A P  A P  A B P  A B P 
cc
 c)
14.07.01.02.0)()()()()()/(
=−=−==
cccc
 A P  AB P  B P  A P  BA P  A B P 
 TEOREMA DE BAYES
Es un método que nos permite calcular la probabilidad de que un evento que ya ocurrió (o efecto) searesultante de alguna “causa”.Si A
1
, A
2
, …, A
n
son sucesos n mutuamente excluyentes, de los cuales al menos unos de los A
i
(i = 1, 2, ...,n) debe ocurrir, y sea B un suceso cualesquiera en
Ω
, la probabilidad condicional de la ocurrencia de A
i
 cuando el evento B haocurrido es:P(Ai/B) =
)nA/B(P)nA(P...)2A/B(P)2A(P)1A/B(P)1A(P)iA/B(P)iA(P
+++
=
∑=
n1i)iA/B(P)iA(P)iA/B(P)iA(P
 
Ejemplo
:En una empresa del total de trabajadores, se tiene que el 50% son ingenieros, el 30% son abogados y el20% son administrativos; además se tiene que el 8% de los ingenieros, el 9% de los abogados y el 10% delos administrativos son “provincianos” (nacidos fuera de la...