Ejercicios derivadas

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EJERCICIOS RESUELTOS DE CAMPOS ESCALARES
Funciones de dos variables: curvas de nivel
1. Determina el dominio de definición de la función 2 2 f (x, y)= 16 − x − 4y .
Sol.
16 4 0 2 2 − x − y ³ ⇒ 22 16 ³ x + 4y ⇒ 1
16 4
2 2
+ £
x y
. Se trata de los puntos interiores y de
frontera de la elipse de semiejes 4 y 2, centrada en el origen.
2. Dada la función x y f x y e − =
2
( , ) ,dibujar la curva de nivel de valor 1.
Sol.
( , ) 1
2
= = x −y f x y e ⇒ 0 2 x − y =
Se trata de la parábola de eje vertical: 2 y = x .
3. Dado el campo escalar 2 2 f (x, y) = x y , halla y representagráficamente la curva de nivel 1.
Sol.
a) 1 2 2 x y = ⇒ xy = 1 o xy = −1. Se trata de dos hipérbolas equiláteras
4. Dada la función ( ) 2 2
( , ) x y f x y e − + = , determina y dibuja las curvasde nivel de valor e–1 y
e–4.
Sol.
( ) 1 2 2
( , ) − + − f x y = e = e x y ⇒ 1 2 2 x + y = ;
( ) 4 2 2
( , ) − + − f x y = e = e x y ⇒ 4 2 2 x + y =
Las curvas de nivel son dos circunferenciasconcéntricas de radio 1 y 2.
Universidad de Alcalá de Henares. Análisis Matemático (Grado de Economía)
.José María Martínez Mediano
2
Derivadas parciales y direccionales; gradiente, hessiana
5.Halla las derivadas parciales de
2 2 ( , )
x y
x
f x y
+
= en el punto (3, 4).
Sol.
( )
( )
=
+
+ −
=
2 2 2
2 2 1· ·2
( , )
x y
x y x x
f x y x
( )2 2 2
2 2
x y
x y
+
− +
→625
7
(3,4) = x f
( )2 2 2
2
( , )
x y
xy
f x y y
+

= →
625
24
(3,4)

= y f
6. Halla el valor del vector gradiente de la función
1
( , ) sin
2
+
= +
y
e
f x y x y
x
, enel punto (1, 0).
Sol.
1
2
( , ) sin
2
+
= +
y
xe
f x y y
x
x → (en (1, 0)) → 2e
2 ( 1)
( , ) cos
2
+
= −
y
e
f x y x y
x
y → (en (1, 0)) → 1 − e
Por tanto, Ñf (1, 0) = (2e, 1− e)7. Dado el campo f x y e y x x ( , ) cos 3 = + , halla el vector gradiente en el punto (0, 1).
Sol.
f x y e y x x
x ( , ) sin 3 = − → (0,1) 1 0 1 0 f = e − sen = x ;
f x y y x y ( , ) 3 cos 2...
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