Ejercicios Ecuaciones diferenciales de variables separables

Estudio cualitativo de ecuaciones diferenciales ordinarias
Campos de pendientes
Consideremos la ecuación diferencial y 0 = f (x, y). Obsérvese que el valor de la función f en un punto
concreto (x0 , y0 ) es el valor de la derivada de y en ese punto o, equivalentemente, la pendiente de la función y
en el punto (x0 , y0 ):
y 0 = f (x0 , y0 ) = derivada de y en el punto (x0 , y0 ) = pendientede la solución en el punto (x0 , y0 )
A partir de esta observación podemos dibujar de forma aproximada las soluciones de la ecuación diferencial
haciendo un esquema de su campo de pendientes.
1. Escoger varios puntos del plano XY. Normalmente se elige una cuadrícula. Llamémos a esos puntos
(x0 , y0 ) , (x1 , y1 ) , . . . , (xn , yn ).
2. Para cada punto (xi , yi ) escogido, evaluar la funciónf . El valor obtenido será la pendiente pi de la solución
en ese punto.
3. Sobre cada punto (xi , yi ) dibujar un pequeño segmento con pendiente pi . Estos pequeños segmentos se
llaman marca de pendiente.
4. Cuando tengamos suficientes marcas de pendiente dibujadas, podremos visualizar y trazar de forma aproximada las soluciones de la EDO.
Ejemplo 1. Dibujar el campo de pendientes de la EDOdy
=y
dx

x

y esbozar la familia de curvas de la solución.
Hacer los campos de pendientes a mano es bastante trabajoso, por lo que es aconsejable realizarlos en el
ordenador. Sin embargo, es interesante observar algunas pendientes. Por ejemplo, si x = y, entonces y 0 = 0, esto
es, a lo largo de la recta x = y las pendientes de las curvas son nulas. Además, si x > y, entonces y 0 < 0; y six < y, entonces y 0 > 0. En consecuencia, a lo largo de la recta x=y las funciones alcanzan máximos.
10

5

-10

-5

10

5

0

5

10

-10

-5

0

-5

10

-5

-10

5

-10

Figura 1: Campo de pendientes y campo de pendientes con soluciones esbozadas de la ecuación

Ejemplo 2. Campos de pendiente en ecuaciones de la forma
de la EDO
dy
= 2x
dx
y usarlopara esbozar la familia de curvas de la solución.
1

dy
dx

dy
dx

=y

x

= f (x). Dibujar el campo de pendientes

Como la función f depende únicamente de x, la pendiente a lo largo de las líneas verticales es la misma, ya
que la función f no depende de t.

5

-5

5

0

5

-5

0

-5

-5

-10

-10

-15

5

-15

Figura 2: Campo de pendientes y campo dependientes con soluciones esbozadas de la ecuación

dy
dx

= 2x

Obsérvese que la ecuación diferencial es de variables separables. De hecho, se puede resolver (las integrales
que salen son muy fáciles). La familia de soluciones es
y (x) = x2 + c, c 2 R.
dy
Ejemplo 3. Campos de pendiente en ecuaciones de la forma dx = f (y) (ecuaciones autónomas). Dibujar el
dy
campo de pendientes de laEDO dx = 4y (1 y) y esbozar la familia de curvas de la solución.
Si la función f depende únicamente de y, la pendiente a lo largo de las líneas horizontales es la misma, ya que
la función f no depende de t. A las ecuaciones diferenciales de este tipo se les llama ecuaciones autónomas.

1.5

1

-0.5

1

0.5

-1

1.5

0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

-0.5

0

0.5

1-0.5

Figura 3: Campo de pendientes y campo de pendientes con soluciones esbozadas de la ecuación

dy
dx

= 4y (1

y)

En este caso la ecuación diferencial también es de variables separables y se puede resolver, si bien las integrales
son difíciles. La familia de soluciones es
y (x) =

e4x
, c 2 R.
c + e4x

Obsérvese que la solución y = 0 es una solución de la ecuación diferencialque no está incluida en la fórmula
de la familia de curvas.
2

Puntos de equilibrio y línea de fases (sólo para EDO’s autónomas)
En esta sección sólo estudiaremos ecuaciones diferenciales autónomas, esto es, consideraremos ecuaciones
diferenciales de la forma
dy
= f (y) .
dx
dy
Los puntos de equilibrio de una EDO autónoma son los que cumplen dx = 0. Para calcularlos, basta
resolver...