Ejercicios Lazaro Calculo Diferencial Varias Variables

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL
EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Matemáticas I. Prof.: Ignacio López Torres

Ejercicios de cálculo diferencial en funciones de varias variables.
Ejercicio 1.
Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
a)  (  ) =

(

2

√ 2 

 + 2

0

b)  ( ) =

(

3 
6 +2

c)  ( ) =

(

4 + 4
2 + 2

d)  ( ) =(

√

0

0

2 + 2

0

para (  ) 6= (0 0 )
para (  ) = (0 0 )

.

para ( ) 6= (0 0)
.
para ( ) = (0 0)
para ( ) 6= (0 0)
.
para ( ) = (0 0)
para ( ) 6= (0 0)
para ( ) = (0 0)

.

Una solución.
a) Observa que dom  = R3 . De las propiedades de las funciones continuas,
se deduce que esta función es continua en todos los puntos de su dominio salvo,eventualmente, en los puntos de la forma (0 0 ), con  ∈ R. En estos puntos,
 (  ) (observa que se trata
para estudiar la existencia del límite
lim
()→(00)

de una indeterminación del tipo 00 ), procedemos de modo similar al resultado
visto en el ejemplo 5.3.4.2. de la parte de teoría (correspondiente a un cambio
a esféricas), pero efectuando ahora en la función  (  ) un cambio acoordenadas cilíndricas. En este sistema de coordenadas, un punto  (  ) del
espacio se expresa mediante tres coordenadas,  (  ), donde el significado de
, que es la distancia del punto  al eje , del ángulo , y de la coordenada
, se muestra en la Figura 1.

Figura 1

1

Matemáticas I. Prof. Ignacio López Torres

El cambio de variable para pasar de coordenadas cilíndricas a cartesianases
 =  cos 
 =  sen 
 = .
Inversamente, para pasar de coordenadas cartesianas a cilíndricas, el cambio de
variable es
p
 =
2 +  2

 = arc tan

 = 
verificándose que  ≥ 0, y que 0 ≤   2.
Por tanto, efectuando un cambio a coordenadas cilíndricas para estudiar la
 (  ), se cumple que
existencia del límite
lim
()→(00)

2 cos2 
=
→0

=  lim  cos2  = 0,

lim ( cos   sen  ) =  lim

→0

→0

cualquiera que sean  ∈ R,  ∈ [0 2), por lo que
lim  ( cos   sen  ) = 0,

→0

uniformemente en  y cualquiera que sea  ∈ R, y así se verifica que

lim

()→(00)

 (  ) =

0. En definitiva, puesto que
 (0 0 ) =

lim

()→(00)

 (  ) = 0,

resulta que la función  también es continua en todos los puntos de la forma
(00 ), con  ∈ R.
b) Observa que dom  = R2 . De las propiedades de las funciones continuas,
se deduce que esta función es continua en todos los puntos de su dominio salvo,
eventualmente, el origen de coordenadas (0 0). En este punto, para estudiar la
 ( ), veamos que sucede al aproximarnos según
existencia del límite
lim
()→(00)

cúbicas (pasando por el punto (0 0)) del tipo  = 3 .Haciendo  = 3 en
la expresión del límite según dichas cúbicas, se llega a
¡
¢
¡
¢
3 3
3 3

3 
=
= lim
= lim 6
,
lim
→0 6 +  2
→0 6 + (3 )2
→0  (1 + 2 )
1 + 2
de donde se sigue, aplicando la propiedad 5.1.2.1. de la parte teórica, que no
 ( ), por lo que la función  no es continua en dicho punto
existe
lim
()→(00)

(0 0).
2

Matemáticas I. Prof. Ignacio López Torresc) De las propiedades de las funciones continuas, se deduce que esta función
es continua en todos los puntos salvo, eventualmente, el origen de coordenadas
 ( ) (observa que se
(0 0). Para estudiar la existencia del límite
lim
()→(00)

trata de una indeterminación del tipo 00 ), efectuamos en la función  ( ) un
cambio a coordenadas polares, obteniendo
¡
¢
lim  ( cos   sen ) =lim 2 cos4  + sen4  = 0,
→0

→0

cualquiera que sea  ∈ (0 2]. Por tanto, dado que lim  ( cos   sen ) = 0,
→0

uniformemente en , se verifica que

lim

()→(00)

 ( ) = 0, y resulta que la

función  también es continua en (0 0) (al ser  (0 0) =

lim

()→(00)

 ( )).

d) Observa que dom  = R2 . De las propiedades de las funciones continuas,
se deduce que esta...