Ejercicios Lineales

PROGRAMACIÓN LINEAL

EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL.

1

Minimiza la función f (x, y) = 2x + 8y sometida a las siguientes restricciones:
 x ≥ 0, y ≥ 0

 2x + 4y ≥ 8
 2x – 5y ≤ 0

 –x + 5y ≤ 5


• Representamos las rectas:
 2x + 4y = 8

 2x – 5y = 0
 –x + 5y = 5


→

x + 2y = 4

y hallamos la región que cumple las condiciones del problema,teniendo en
cuenta que x ≥ 0 e y ≥ 0.
• Representamos la dirección de las rectas z = 2x + 8y, dibujando la que pasa por
el origen de coordenadas: 2x + 8y = 0 → x + 4y = 0
x+

2y
=

4

y=5
–x + 5

2
1

5y
x–

=0

1

2

3
4
x+4
y=

2

5
0

• El mínimo se alcanza en el punto de intersección de las rectas:

)

• El mínimo vale f

y

20 8
,
99

(

)

20 8104
,
=
.
99
9

ta

(

Maximiza y minimiza la función p = x + 2y – 3 con las siguientes restricciones:
 2x – 3y ≥ 0

 5y ≤ 9
 3x ≤ 2


M

at

2




 Punto




es

x + 2y = 4 

2x – 5y = 0 

20
x = —–
9
8
y=—
9

• Representamos las rectas:
 2x – 3y = 0

5y = 9

 3x
=2

y hallamos la región que cumple las condiciones delproblema.
• Representamos la dirección de las rectas p = x + 2y – 3, dibujando la recta
x + 2y – 3 = 0:
La restricción 5y ≤ 9 es superflua. La región
sería la misma sin ella.

2
x=—
3
2
1

9
y=—
5
0
y=
–3
2x x + 2
y–
1

2

• El máximo se alcanza en el punto de intersección de las rectas:

3=

0

2
2x – 3y = 0  x = —–

3
2

x=—
4
 y=—
3

9
El máximo es p

(24
,
39

)



24

 Punto 3 , 9




(

=

)

2
8
–13
+
–3=
3
9
9

• No hay mínimo.

INSTITUTO NACIONAL

1/14

Prof. Carlos Estay Fuentes.

EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL.

3

Maximiza la función z = 3x + 4y sujeta a las siguientes restricciones:
 2x + 3y ≥ 36

 2x + 2y ≥ 28
 8x + 2y ≥ 32

x + y ≥ 0

• Representamoslas rectas:
 2x

 2x
 8x

x


+
+
+
+

3y
2y
2y
y

=
=
=
=

36
28
32
0

→ x + y = 14
→ 4x + y = 16

y obtenemos la región que cumple las condiciones del problema.
• Representamos la dirección de las rectas z = 3x + 4y, dibujando la recta 3x + 4y = 0:
La restricción x + y ≥ 0 es superflua.
La región sería la misma sin ella.
• No hay máximo. La función 3x +4y
se puede hacer tan grande como se
quiera en el recinto propuesto.

36

1

En la región determinada por 3x + y ≥ 5, x – y ≤ 0, x ≥ 0 e y ≥ 0, halla el
punto en que la función f (x, y) = 2x + 4y alcanza su valor mínimo. ¿Puede
alcanzar su máximo en esa región?

M

4

at

es

1

14

0
0

=

=
=

y

y
4y

+

+
+

x

6
y=1
4x +

x
3x

y

+3
y=ta

2x

• Representamos las rectas:
 3x + y = 5

 x – 2y = 0
5
y=
3x +

y hallamos la región que cumple las
condiciones del problema, teniendo en
cuenta que x ≥ 0 e y ≥ 0.

x–

• Representamos la dirección de las rectas
z = 2x + 4y, dibujando la que pasa por
el origen de coordenadas:

=
2y

0

1
1

2x
+

2x + 4y = 0 → x + 2y = 0

4y
=

0

• El mínimo sealcanza en el punto de intersección de las rectas.
3x + y = 5 

x – 2y = 0 

10
x = —–
7
5
y=—
7




 Punto




(

10 5
,
77

)

• No hay máximo. La función 2x + 4y se puede hacer tan grande como se quiera
en el recinto propuesto.

INSTITUTO NACIONAL

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Prof. Carlos Estay Fuentes.

EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL.

 2x + y ≥ 20
Calcula los puntos del recinto  2x – y ≤ 20 que hacen mínima o máxima la
 0 ≤ y ≤ 20

función z = 2x + y. ¿Cuántas soluciones hay?

5

 2x +

 2x –
• Representamos las rectas 




y
y
y
y

=
=
=
=

20
20
20
0
y = 20

• Hay infinitos puntos que hacen mínima la función: todos los que están sobre el segmento de
recta y = 20 – 2x con 0 ≤ x ≤ 10.

–y

10...