ejercicios movimiento armonico simple

 FÍSICA I -Licenciaturas de Física y Matemáticas
PRÁCTICO Nº 8 – Oscilaciones, movimiento armónico simple

Ejercicio 1.- Un oscilador consta de un bloque de m = 512 g de masa unido a un resorte. En t = 0, se estira 34,7 cm respecto a la posición de equilibrio y se observa que repite su movimiento cada 0,484 segundos. Halle: a) el período, b) la frecuencia, c) la frecuencia angular, d) laconstante de fuerza, e) la velocidad máxima, f) la fuerza máxima ejercida sobre el bloque, g) la ecuación de movimiento del oscilador (asumiendo que v(0) =0), y, h) ¿En qué factor debe aumentarse la masa del bloque para que se duplique el período de oscilación?
De la letra del problema tenemos: m = 512 g = 0,512 kg

En t(0) x(0) = 34,7 cm = 0,347m y además v(0) =0 , por tanto con estascondiciones iniciales se tiene que x(0) = 0,347m = A
y que el movimiento se repite cada 0,484s

a) T = 0,484 s (por la propia definición de periodo) T = 0,484 s
b) f === 2,066Hz f = 2,07Hz
c) = 2f = 12,98 rad/s  = 13,0 rad/s
d) Como  = k = 2m = 86,2857 N/m k =86,3 N/m
e) vmax = A = 4,50406 m/s vmax = 4,50 m/s

f) Fmax = kA = 29,941 N Fmax = 29,9 N

g)Con las condiciones iniciales dadas (x(0) = A y v(0) = 0) la solución de la ecuación del M.A.S. es del tipo x(t) = Acos t = 0,347 cos(13,0 t)
x(t) = 0,347 cos(13,0 t)


Ejercicio 2.- Un cuerpo oscila con movimiento armónico simple de acuerdo con la ecuación:
x(t) = 6,12 cos (8,38t +1,92) con x en metros y t en segundos. Halle:
a) el desplazamiento, la velocidad, y la aceleraciónen el tiempo t = 1,90s y sus valores máximos,
b) la frecuencia y el período del movimiento.
c) Si la masa vale m = 0,350 kg, ¿Cuánto vale la energía cinética, y la energía mecánica?



Ejercicio 3.- Si la posición, velocidad y aceleración iniciales de un objeto que se mueve con movimiento armónico simple son x0, v0 y a0, y si la frecuencia angular de la oscilación es ,
a) Demuestre quesi la posición del objeto se describe como: x(t) = Acos(t +), entonces
y
Si se describe como x(t) = B sen(t +), ¿cuánto valen B y ?

b) Demuestre que la posición y la velocidad del objeto para todo instante puede escribirse como:
y,
c) Si la amplitud del movimiento es A, demuestre que


a) x(t) = Acos(t +)  v(t) = -Asen(t +)
x(0) = Acos() = x0 ; v(0) =-Asen() = v0 
Dividiendo miembro a miembro: (1) entre Acos() = x0 (2)  
Elevando (1) y (2) al cuadrado, y sumando miembro a miembro:

b) Veamos que esta expresión es solución de la ecuación del MAS :

= = -
Por lo que verifica la ecuación del MAS, veamos si verifica las condiciones iniciales:
= x0 =
Efectivamente verifica las condiciones iniciales, portanto es solución.

c)
==

Por otro lado: == =



Ejercicio 4.- Existe una relación interesante entre un sistema masa-resorte y un péndulo simple. Supongamos que se cuelga una masa M del extremo de un resorte, y que cuando la masa está en equilibrio, el resorte está estirado una distancia h. Demuestre que la frecuencia de este sistema masa-resorte es la misma que la de un péndulo simple demasa m y longitud h, aún cuando m ≠ M.
Constante del resorte k: Mg = kh 
La frecuencia del sistema masa-resorte, está dada por

Esta última expresión coincide con la frecuencia de un péndulo simple de longitud l = h.


Ejercicio 5.- Parcial de Ingeniería 2002 – Una partícula de masa 2,0 kg está unida a un resorte de constante elástica 72 N/m y se mueve a lo largo del eje x en unmovimiento armónico simple. Se observa que en t = 0,0 s la velocidad de la partícula es máxima, igual a 4,2 m/s. Tomando x = 0,0 m como la posición de equilibrio del sistema, la ecuación de movimiento de la partícula es (con t medido en segundos y x medido en metros):

a) x(t) = 1,4 sen (6,0 t) b) x(t) = 0,70 cos (6,0 t) c) x(t) = 0,11sen (38 t)
d) x(t) = 0,11cos (38 t) e) x(t) = 0,70...