Ejercicios Resueltos Conicas
Ejercicio nº 1.Escribe la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (2, -3) y que es tangente a la
recta 3x - 4y + 5 = 0.
Solución:
El radio, R, de la circunferencia es igual a la distancia del centro a la recta dada:
6 + 12 + 5
R = dist ( C , r ) =
25
23
5
=
La ecuación será:
( x - 2 ) + ( y + 3)
2
2=
529
204
® x2 + y 2 - 4 x + 6 y =0
25
25
25x2 + 25 y2 - 100x +150y - 204 = 0
Ejercicio nº 2.a) Halla el centro y el radio de la circunferencia de ecuación:
2x2 + 2y2 - 8x - 12y + 8 = 0
b) Escribe la ecuación de la circunferencia de radio 5, que es concéntrica a la del apartado
anterior.
Solución:
a) 2x2 + 2y2 - 8x - 12y + 8 = 0
®
x2 + y2 - 4x - 6y + 4 = 0
æ4 6ö
Centro =ç , ÷ = (2, 3 )
è2 2ø
Radio = 4 + 9 - 4 = 9 = 3
b) La circunferencia tiene radio 5 y centro (2, 3). Su ecuación será:
(x - 2) 2 + (y - 3) 2 = 25
®
x2 + y2 - 4x - 6y - 12 = 0
Ejercicio nº 3.Halla la ecuación de la circunferencia tangente a la recta 4x + 3y - 25 = 0 y cuyo centro es el
punto de intersección de las rectas 3x - y - 7 = 0 y 2x + 3y - 1 = 0.
Solución:
Hallamos sucentro:
3 x - y - 7 = 0ü
ý
2x + 3y - 1 = 0þ
y = 3x - 7
2x + 3(3 x - 7 ) - 1 = 0
2x + 9x - 21 - 1 = 0
®
11x = 22
®
x=2
®
y = -1
El centro es C(2, -1).
El radio, R, es igual a la distancia del centro a la recta tangente:
R = dist (C, r ) =
8 - 3 - 25
25
=
20
=4
5
La ecuación será:
(x - 2)2 + (y + 1) 2 = 16
®
x2 + y2 - 4x + 2y - 11 = 0Ejercicio nº 4.-
Estudia la posición relativa de la recta r: 2x + y = 1 y la circunferencia
x2 + y2 - 4x - 2y - 4 = 0.
Solución:
· Hallamos el centro y el radio de la circunferencia:
æ 4 2ö
Centro = C = ç , ÷ = (2 , 1)
è2 2ø
Radio = R = 4 + 1 - (- 4 ) = 9 = 3
· Hallamos la distancia del centro a la recta dada:
dist (C , r ) =
2 × 2 + 1- 1
4 +1
4
» 1,79 < 3 = radio
5
=
Portanto, la circunferencia y la recta son secantes. Se cortan en dos puntos.
Ejercicio nº 5.Halla la posción relativa de la recta 3x + 4y - 25 = 0 con respecto a la circunferencia
x2 + y2 - 25 = 0. Si se cortan en algún punto, halla sus coordenadas.
Solución:
Como tenemos que hallar los posibles puntos de corte, resolvemos el sistema:
25 - 3 x
y=
x 2 + y 2 - 25 = 0 ü
4
ï
ý
2
3 x + 4y - 25= 0ï x 2 + æ 25 - 3x ö - 25 = 0
þ
ç
÷
4ø
è
x2 +
625 - 150 x + 9 x 2
- 25 = 0 ® 16 x 2 + 625 - 150 x + 9 x 2 - 400 = 0 ®
16
Se cortan en el punto (3, 4). Por tanto, son tangentes.
Ejercicio nº 6.-
Obtén el valor de k para que la recta s: x + y + k = 0 sea tangente a la circunferencia
x2 + y2 + 6x + 2y + 6 = 0.
Solución:
· Hallamos el centro y el radio de la circunferencia:x2 + y2 + 6x + 2y + 6 = 0
æ-6 -2ö
,
Centro = C = ç
÷ = (- 3, - 1)
2ø
è2
Radio = r = 9 + 1 - 6 = 4 = 2
· Hallamos la distancia del centro a la recta dada:
dist (C, s ) =
- 3 - 1+ k
2
=
k -4
2
· Para que la recta sea tangente a la circunferencia, esta distancia ha de ser igual al radio:
k -4
2
=2 ®
ì k -4 =2 2 ® k = 4+2 2
ï
k -4 =2 2 í
ï k - 4 = -2 2 ® k = 4 -2 2
î
Hay dos soluciones: k1 = 4 + 2 2 ; k 2 = 4 - 2 2
Ejercicio nº 7.Halla la posición relativa de la recta r: x + y = 2 con respecto a la circunferencia
x2 + y2 + 2x + 4y + 1 = 0
Solución:
· Hallamos el centro y el radio de la circunferencia:
æ-2 -4ö
Centro = C = ç
,
÷ = (- 1, - 2)
2ø
è2
Radio = R = 1 + 4 - 1 = 4 = 2
· Hallamos la distancia del centro a la recta dada:
dist(C , r ) =
- 1- 2 - 2
1+ 1
=
5
» 3,53 > 2 = radio
2
Por tanto, la recta es exterior a la circunferencia.
Ejercicio nº 8.Describe las siguientes cónicas, obtén sus elementos y represéntalas:
a) 4x2 + 25 y2 = 100
b) 4y2 - x2 = 4
Solución:
a) 4 x 2 + 25 y 2 = 100
®
x2 y 2
+
=1
25
4
ìSemieje mayor : 5
ï
ïSemieje menor : 2
ï
ï
Es una elipse : íFocos : F 21, 0...
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