Ejercicios resueltos de algebra

´ Problemas del segundo cap´ ıtulo de Algebra Local
Pedro Sancho de Salas 2003

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Problemas
1. Sea M = M0 ⊇ M1 ⊇ M2 ⊇ · · · ⊇ Mn una cadena de A-subm´dulos de M . Probar que o l(M/Mn ) = Resoluci´n: o l(M/Mn ) es el n´mero de eslabones de las cadenas irrefinables que comienzan en Mn y terminan u en M , que coincide con la suma de los n´meros de eslabones de las cadenas irrefinables que ucomienzan en Mi y terminan en Mi−1 , desde i = n hasta i = 1. 2. Sea A = k[ξ1 , . . . , ξn ] una k-´lgebra de tipo finito y sea O = Ax , donde x ∈ Spec A es un punto a cerrado. Probar que si M es un O-m´dulo de longitud finita entonces es un k-espacio vectorial o de dimensi´n finita y o dimk M = l(M ) · dimk O/mx Resoluci´n: o Sea M = M0 ⊃ M1 ⊇ M2 ⊃ · · · ⊃ Mn una cadena irrefinable de O-subm´dulos de M. Por o tanto, Mi /Mi+1 O/mx . Tenemos que
n n i=1

l(Mi−1 /Mi ).

dimk M =
i=1

dimk (Mi−1 /Mi ) = n · dimk O/mx = l(M ) · dimk O/mx

3. Sea A un anillo ´ ıntegro y f, g ∈ A no nulas. Probar que lA (A/(f g)) = lA (A/(f )) + lA (A/(g)) Resoluci´n: o La sucesi´n o 0 / A/(g)
Â
f·

/ A/(f · g)

/ A/(f )

/0

a ¯

/ fa ¯Â b /¯ b

es exacta, luego lA (A/(f g)) = lA (A/(f )) +lA (A/(g)). 4. Probar que si A es un anillo con un n´mero finito de elementos, entonces es un anillo noetheriano u de dimensi´n cero. o Resoluci´n: o Obviamente A es un anillo de longitud finita.

3 5. Escribamos el polinomio p(x, y) = pn (x, y)+pn+1 (x, y)+. . .+pm (x, y) como suma de polinomios homog´neos pi (x, y) de grado i. Sea O = (k[x, y]/p(x, y))x0 , con mx0 = (x, y). Demostrar que e Gmx0O = k[x, y]/(pn (x, y)). Calcular el polinomio de Samuel de O. Resoluci´n: o G(x,y) k[x, y] = k[x, y] y pn (x, y) no es divisor de cero en k[x, y], luego Gmx0 O = k[x, y]/(pn (x, y)). 6. Sea O un anillo local noetheriano. Probar que la dimensi´n de Krull de O es igual a la dimensi´n o o ∞ n n+1 n n+1 del cono tangente Gm O = ⊕m /m en el origen (que es el ideal maximal ⊕ m /m ).
n n=1Resoluci´n: o Gorigen (Gm O) = Gm O, por tanto, O y Gm O tienen el mismo polinomio de Hilbert, luego la o misma dimensi´n de Krull. 7. Sea A un anillo noetheriano. Probar que dim A[x] = 1 + dim A (Obs´rvese que si p ⊂ A es un e ideal primo entonces pA[x] es un ideal primo de A[x]). Resoluci´n: o Si p1 ⊂ p2 ⊂ · · · ⊂ pn es una cadena de ideales primos de A, entonces (p1 ) ⊂ (p2 ) ⊂ · · · ⊂ (pn ) ⊂ (pn , x)es una cadena de ideales primos de A[x], pues A[x]/(pi ) = (A/pi )[x] y A[x]/(pi , x) = A/pi . Luego, dim A[x] ≥ 1 + dim A Sea p1 ⊂ p2 ⊂ · · · ⊂ my una cadena de ideales primos en A[x], y sea py = mx ∩A. Localizando en y (es decir, por A−py ), podemos suponer que py = my es maximal. Ahora bien, A[x]/(my ) = (A/my )[x], luego my = (my , p(x)), para cierto polinomio p(x). Teniendo en cuenta ladefinici´n o param´trica de dimensi´n, tenemos que dim A[x]y ≤ dim Ay +1 ≤ dim A+1. Luego, dim A[x] ≤ e o dim A + 1. 8. Sea O un anillo local noetheriano de dimensi´n de Krull 2. Probar que el conjunto Spec O tiene o infinitos puntos. Si A es un anillo noetheriano de dimensi´n de Krull mayor o igual que dos o probar que el conjunto Spec A tiene infinitos puntos. Resoluci´n: o El n´mero de ideales primosminimales de O es finito y hay un unico ideal primo maximal. Si u ´ hubiese un n´mero finito de ideales primos que no son minimales ni maximales (los cuales no u est´n ninguno incluido dentro de otro, por ser dim O = 2) entonces sabr´ a ıamos construir una funci´n f que no se anula en ninguno de ellos y entonces dim O/(f ) ≤ dim O − 2, lo que es o contradictorio. 9. Calcular la dimensi´n de Krull deC[[x, y]]S , con S = {1, x, . . . , xn , . . .}. o Resoluci´n: o Observemos que dim C[[x, y]] = 2. Spec C[[x, y]]S ⊂ Spec C[[x, y]] y no contiene al punto cerrado, luego dim C[x, y]]S ≤ 1. Tenemos la cadena (0) ⊂ (y) de ideales primos de C[x, y]] que no corta o con S, luego dim C[x, y]]S ≥ 1. En conclusi´n, dim C[x, y]]S = 1.

4 10. Sea A = k[x1 , x2 , . . . , xn , . . .] un anillo de...