Ejercicios Resueltos De Calculo Vectorial

1. Sea S la porción de superficie del plano z + x = 2 interior al paraboloide z = 4 − x2 − y2 . Calcule el

flujo del campo F(x, y, z) = (x, arctg(y), z + x2 + y2 ) a través de S en la dirección deun normal de
componente z positiva.
Solución.
(7 puntos)
Parametrizando la superficie de interés se tiene que r(x, y) = (2 − z, y, z) , (y, z) ∈ D , donde

{

3
D = (y, z) ∈ R 2 : y2 + (z −2 )2 ≤

9
4

}

Por otro lado, se tiene que ry × rz = (1, 0,1) , el cual tiene la orientación solicitada, por tanto

Flujo =

∫∫
∫∫

(2 − z, arctg(y), z + (2 − z)2 + y2 ) • (1, 0,1)dAD

=

(6 − 4z + z2 + y2 )dA = 6

∫∫

D

dA − 4

∫∫

D

zdA +

D

∫∫

(z2 + y2 )dA

D

Ahora bien,

6

∫∫
∫∫
∫
∫
∫

dA = 6.

9π 27π
=
; −4
4
2

∫∫

D∫∫

π

(z2 + y2 )dA =

0

D

81
=
4
=

=

81
16

81
16

3 9π
27π
zdA = −4. .
=−
24
2

D
3sen(θ)

r3drdθ =

0
π

0

r4
4

81
(sen (θ)) dθ =
16
2

0

∫

π2

3sen(θ)

dθ =
0

∫

sen4 (θ)dθ

0

(1 − cos(2θ))2 dθ

0

(1 − 2 cos(2θ) + cos2 (2θ))dθ =

0

0

∫

π

π

π

π

81
4

81
16

∫

π

0

cos(4θ) 
3
2 − 2 cos(2θ) +
 dθ
2



cos(4θ) 
81 3π 243π
3
 2 − 2 cos(2θ) +
 dθ = 16 . 2 = 32
2



Por lo tanto

Flujo =

∫∫

(2 − z, arctg(y), z + (2 − z)2 + y2 ) • (1, 0,1)dA =243π
32

D

2. Use el Teorema de Stokes de dos maneras distintas para calcular

∫

ydx + zdy + xdz ,

C

donde

x2 + y2 = z

,
C:
 3x + z = 4

con recorrido antihorario sise mira desde un punto lejano situado en el eje z positivo.
Solucion.
(7 puntos)
Siendo F(x, y, z) = (y, z, x) , entonces rot(F) = (−1, −1, −1) . Usando el plano 3x + z = 4 como superficie

{de interés se tiene que r(x, y) = (x, y, 4 − 3x), (x, y) ∈ D, donde D = (x, y) ∈ R2 : (x + 3 )2 + y2 ≤
2
Por otro lado, se tiene que rx × ry = (3, 0,1) , el cual tiene la orientación adecuada,...