Ejercicios Resueltos de Derivadas usando la regla de la cadena

Ejercicios Resueltos de Derivadas usando la regla de la cadena.

1) y = (x3 + 3)5
y'= 5(x3 + 3)4d/dx(x3 + 3)
y'= 5(x3 + 3)4 d/dx(3x2)
y'=  15x2(x3 + 3)4

2) y = (-3x5+1)3
y' = 3(-3x5+1)2 d/dx(-3x5+1)
y' = 3(-3x5+1)2(-15x4)
y' = -45x4(-3x5+1)2
3) y= (5x 2+ 3)4
y'= 4(5x 2+ 3)3 d/dx(5x 2+ 3)
y'= 4(5x 2+ 3)3 (10x)
y'= 40x(5x 2+ 3)3
4) y= (-x4 -3) -2
y'= -2(-x4 -3)-3 d/dx(-x4 -3)
y'= -2(-x4-3)-3 (-4x3)
y'=  -8x3(-x4 -3)-3 



y = (-2x2 + 1 )1/2
y' = 1/2 (-2x2 + 1 )-1/2 d/dx (-2x2 + 1)
y' = 1/2 (-2x2 + 1 )-1/2 (-4x)
y' = -2x (-2x2 + 1 )-1/2




y = (-3x4 - 2)1/3
y' = 1/3(-3x4 - 2)-2/3d/dx(-3x4 - 2)
y' = 1/3(-3x4 - 2)-2/3(-12x3)
y' = 1/3(-3x4 - 2)-2/3(-3x4)
y' = -4x3(-3x4 - 2)-2/3
REGLA DE LA CADENA

Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I, 

 
y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,
 

 
entonces la función compuesta
 

 
definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene
 

 
 
Ejemplo: cálculo de derivadas
 Calcular la derivada de la función h(x) = sen x2.
 
Resolución:
 
 La función sen x2 es una función compuesta de otras dos f(x) = x2 y g(x) = sen x.
 

 

 
 Al ser g(x) = sen x, g'(x) = cos x, por tanto g'[f(x)] = cos f(x) = cos x2
 

 
 Por la regla de la cadena,
 
h'(x) = g'[f(x)] · f'(x) = 2x cos x2
 

 
Resolución:
 


 



 
 
 De g(x) = x3, se deduce g'(x) = 3x2. En consecuencia,


  Por la regla de la cadena,
 

 
Regla de la cadena para la función potencial
 
Se sabe que la derivada de una función f(x) = xm es f'(x) = m · xm - 1.
Si en lugar de x se tuviese una función u(x), la derivada de u(x)m
 

 
aplicando la regla de la cadena, será:
 
[u(x)m]' = m · u(x)m - 1 · u'(x)
 
Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirásimplemente u en lugar de u(x).
 
Así,

 
 
 
Ejercicio: cálculo de derivadas

 Calcular la derivada de f(x) = (x2 + 1)3.
 
Resolución:
 
 Si u = x2 + 1, u' = 2x
 
En este caso m = 3
 
 f'(x) = 3 (x2 + 1)2 · 2x = 6x (x2 + 1)2
 
Regla de la cadena para la función logaritmo neperiano
 
Si en la derivada de logaritmo neperiano se sustituye x por una función de x, u(x), en virtud de la regla de la cadena se tiene que
 

 
Ejercicio: cálculo de derivadas


 
Resolución: 

 
 Se calcula u' aplicando la derivada de un cociente:
 

 
 Se aplica la regla de la cadena:
 

 
 Hallar la derivada de f(x) = ln |sen x |
 
Resolución:
 
 u = sen x; u' = cos x
 

 
Regla de la cadena para las funciones exponenciales
 
Si en lugar de x se tuviese una función u(x), por la regla de la cadena se tiene que para una función f(x) = au y para otra g(x)= eu,
 
f'(x) = (au )' = u' · au · ln a
 
g'(x) = (eu )' = u' · eu
 
 
Ejercicio: cálculo de derivadas

 Calcular la derivada de f(x) = 4x sen x
 
Resolución:
 
 Llamando u = x · sen x, u'= 1 · sen x + x cos x
 
f'(x) = (4x sen x )' = (sen x + x cos x) · 4x sen x · ln 4
 

 
Resolución:
 

 
Regla de la cadena para las funciones trigonométricas
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