ejercicios resueltos de geometria analitica

EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALITICA DEL ESPACIO
1. Determinar la posición relativa de las siguientes parejas de planos:
a)

π : 2x + 3 y − z + 8 = 0

b)

π : 3 x + 2 y − 6z − 7 = 0

c)

π : 3 x − y + z = −1

d)

π : 3x − y + 5 z + 1 = 0

a)

π' : −4x − 6y + 2z − 16 = 0

Discutamos el sistema:

π' : 4x − y + z + 2 = 0
π' : 6x − 2y + 2z = 7
π´: 4x + y + 7z + 12 = 02 x + 3 y − z = −8 ⎫
⎬
− 4 x − 6 y + 2z = 16⎭
la matriz de coeficientes y la ampliada son, respectivamente:

3 − 1⎞
⎛ 2
A=⎜
⎜− 4 − 6 2 ⎟
⎟
⎝
⎠

3 − 1 − 8⎞
⎛ 2
B=⎜
⎜ − 4 − 6 2 16 ⎟
⎟
⎝
⎠

como todos los menores de segundo orden que se pueden extraer de la matriz A son nulos ya que:

2
3
= −12 + 12 = 0
−4 −6

2 −1
=4−4=0
−4 2

3 −1
= 6−6 = 0
−6 2

se tiene quer(A)=r(B)=1, el sistema es compatible e indeterminado con dos grados de indeterminación. Los
dos son coincidentes.
b)

Ahora el sistema a estudiar es:

3x + 2 y − 6z = 7⎫
⎬
4 x − y + z = −2 ⎭
En la matriz A de los coeficientes, el menor:

3 2
= −3 − 8 = −11 ≠ 0
4 −1
por tanto, r(A)=r(B)=2, el sistema es compatible e indeterminado con un grado de indeterminación. Los planos
secortan en una recta cuyas ecuaciones implícitas son las dadas por el sistema de ecuaciones.
c)

En el sistema:

3 x − y + z = −1 ⎫
⎬
6x − 2 y + 2z = 7⎭
Los tres menores de segundo orden extraídos de la matriz de los coeficientes son nulos, en efecto:

3 −1
= −6 + 6 = 0
6 −2

3 1
= 6−6 = 0
6 2

−1 1
= −2 + 2 = 0
−2 2

por tanto, r(A)=1. Pero el ampliado
Los planos son paralelos.d)

3 −1
= 21 + 6 = 27 ≠ 0 ⇒ r (B) = 2
6 7
El sistema es incompatible.

El sistema es:

3 x − y + 5 z = −1 ⎫
⎬
4 x + y + 7z = −12⎭
Como el menor:

3 −1
=3+4 =7 ≠ 0
4 1
se tiene que r(A)=r(B)=2, el sistema es compatible e indeterminado con un grado de indeterminación. Los
planos se cortan en una recta cuyas ecuaciones implícitas vienen dadas por el sistema de ecuaciones.

2.Dado el plano π : 3 x − 5 y + z − 2 = 0 , determinar la ecuación de un plano
π' , paralelo a π que contenga al punto A(-3, 2, 4).
Un vector normal al plano
también normal a

π

es

r
v(3,−5,1) ,

como

π' , por tanto, éste será de la forma:

π'

ha de ser paralelo a

π,

el vector anterior será

π' : 3 x − 5 y + z + D = 0
donde nos falta determinar D, cosa que haremosteniendo en cuenta que el punto A ha de satisfacer la
ecuación de este plano por estar contenido en él, es decir:

3 ⋅ (−3) − 5 ⋅ 2 + 4 + D = 0 ⇒ D = 15
siendo, pues

π' : 3 x − 5 y + z + 15 = 0

el plano pedido.

3. Determinar la posición relativa de los planos:

⎧x = 5 − 3t + 2s
⎪
π : ⎨ y = 6 + 2t − s
⎪z = 7 − t + 5 s
⎩

⎧x = 2 + 7µ
⎪
π' : ⎨ y = 6 + λ − 3µ
⎪z = −5 + 13λ + 24µ
⎩Transformemos ambos planos a la forma implícita, en el primero tenemos que:

x−5 −3 2
y − 6 2 − 1 = 0 ⇒ 10(x − 5) + 3(z − 7) − 2( y − 6) − 4(z − 7) − (x − 5) + 15( y − 6) = 0
z −7 −1 5
⇒ 10 x − 50 + 3z − 21 − 2 y + 12 − 4 z + 28 − x + 5 + 15 y − 90 = 0 ⇒
⇒ π : 9x + 13 y − z − 116 = 0
En cuanto al segundo:

x−2

0

y−6

1

7

z + 5 13

− 3 = 0 ⇒ 24(x − 2) + 91( y − 6) −7(z + 5) + 39(x − 2) = 0 ⇒
24

⇒ 24 x − 48 + 91y − 546 − 7z − 35 + 39x − 78 = 0 ⇒ π' : 63x + 91y − 7z − 707 = 0
Discutamos ahora el sistema de ecuaciones:

9x + 13 y − z = 116 ⎫
⎬
63x + 91y − 7z = 707⎭
Como todos los menores de segundo orden que pueden extraerse de la matriz de los coeficientes son nulos

como es fácil comprobar, r(A)=1 pero el ampliado
incompatible. Los planos sonparalelos.

9 116
= −945 ≠ 0 ⇒ r (B) = 2
63 707
y

el sistema es

4. Determinar la posición relativa de los planos:
α:x+y−z+2 =0
β : 2x − y + 3z + 5 = 0
γ : 3x + 2z + 7 = 0
Estudiemos el sistema de ecuaciones que forman los tres.
El determinante de la matriz de los coeficientes es:

1

1

−1

2 −1

3 = −2 + 9 − 3 − 4 = 0 ⇒ r ( A ) ≤ 2

3

2

0

Pero el menor:

1 1
=...