EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALITICA DEL ESPACIO
1. Determinar la posición relativa de las siguientes parejas de planos:
a)

π : 2x + 3 y − z + 8 = 0

b)

π : 3 x + 2 y − 6z − 7 = 0c)

π : 3 x − y + z = −1

d)

π : 3x − y + 5 z + 1 = 0

a)

π' : −4x − 6y + 2z − 16 = 0

Discutamos el sistema:

π' : 4x − y + z + 2 = 0
π' : 6x − 2y + 2z = 7
π´: 4x + y + 7z + 12 = 02 x + 3 y − z = −8 ⎫

− 4 x − 6 y + 2z = 16⎭
la matriz de coeficientes y la ampliada son, respectivamente:

3 − 1⎞
⎛ 2
A=⎜
⎜− 4 − 6 2 ⎟




3 − 1 − 8⎞
⎛ 2
B=⎜
⎜ − 4 − 6 2 16 ⎟⎟



como todos los menores de segundo orden que se pueden extraer de la matriz A son nulos ya que:

2
3
= −12 + 12 = 0
−4 −6

2 −1
=4−4=0
−4 2

3 −1
= 6−6 = 0
−6 2

se tiene quer(A)=r(B)=1, el sistema es compatible e indeterminado con dos grados de indeterminación. Los
dos son coincidentes.
b)

Ahora el sistema a estudiar es:

3x + 2 y − 6z = 7⎫

4 x − y + z = −2 ⎭En la matriz A de los coeficientes, el menor:

3 2
= −3 − 8 = −11 ≠ 0
4 −1
por tanto, r(A)=r(B)=2, el sistema es compatible e indeterminado con un grado de indeterminación. Los planos
secortan en una recta cuyas ecuaciones implícitas son las dadas por el sistema de ecuaciones.
c)

En el sistema:

3 x − y + z = −1 ⎫

6x − 2 y + 2z = 7⎭
Los tres menores de segundo orden extraídosde la matriz de los coeficientes son nulos, en efecto:

3 −1
= −6 + 6 = 0
6 −2

3 1
= 6−6 = 0
6 2

−1 1
= −2 + 2 = 0
−2 2

por tanto, r(A)=1. Pero el ampliado
Los planos son paralelos.d)

3 −1
= 21 + 6 = 27 ≠ 0 ⇒ r (B) = 2
6 7
El sistema es incompatible.

El sistema es:

3 x − y + 5 z = −1 ⎫

4 x + y + 7z = −12⎭
Como el menor:

3 −1
=3+4 =7 ≠ 0
4 1
se tiene quer(A)=r(B)=2, el sistema es compatible e indeterminado con un grado de indeterminación. Los
planos se cortan en una recta cuyas ecuaciones implícitas vienen dadas por el sistema de ecuaciones.... [continua]

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