ejercicios resueltos Programacion Lineal

1.-Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €. ¿Qué número depantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que estos consigan una venta máxima?
1. Elección de las incógnitas.
x = número de pantalones
y = número de chaquetas
2. 2  Función objetivo
f(x,y)= 50x + 40y
3. 3  Restricciones
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
 
pantalones
chaquetas
disponible
algodón
1
1,5
750
poliéster
2
1
1000
x + 1.5y ≤750  2x+3y≤1500
2x + y ≤ 1000
Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más:
x ≥ 0
y ≥ 0
4. 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

Resolvemos gráficamentela inecuación: 2x + 3y ≤ 1500, para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).
2·0 + 3·0 ≤ 1 500
Como 0 ≤ 1 500 entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde se cumple la desigualdad.
De modo análogo resolvemos 2x + y ≤ 1000.
2·0 + 0 ≤ 1 00
La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjuntode las soluciones factibles.

5. 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto. estos son las soluciones a los sistemas:
2x + 3y = 1500; x = 0 (0, 500)
2x + y = 1000; y = 0 (500, 0)
2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375, 250)

6. 6  Calcular el valor de la función objetivo
En la funciónobjetivo sustituimos cada uno de los vértices.
f(x, y) = 50x + 40y
f(0, 500) = 50 · 0 + 40 · 500 = 20000 €
f(500, 0) = 50 · 500 + 40 · 0 = 25000 €
f(375, 250) = 50 · 375 + 40 · 250 = 28750 €    Máximo
La solución óptima es fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas para obtener un beneficio de 28750 €.

2.- Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita untrabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.
1. Elección de las incógnitas.
x= nº de lámparas L1
y = nº de lámparas L2
2. 2  Función objetivo
f(x, y) = 15x + 10y
3. 3  Restricciones
Pasamos los tiempos a horas
20 min = 1/3 h
30 min = 1/2 h
10 min = 1/6 h
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

L1
L2
Tiempo
Manual
1/3
1/2
100
Máquina
1/3
1/6
80
1/3x + 1/2y ≤ 100
1/3x + 1/6y ≤ 80
Como el número de lámparas son números naturales, tendremos dosrestricciones más:
x ≥ 0
y ≥ 0
4. 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos gráficamente la inecuación: 1/3 x + 1/2 y ≤ 100; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).
1/3·0 + 1/2·0 ≤ 1001/3·0 + 1/6·0 ≤ 80
La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

5. 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. estos son las soluciones a los sistemas:
1/3x + 1/2y =...