Ejercicios Resueltos Regresion Lineal

Ingenier´ en Estad´
ıa
ıstica

´
Correccion de Prueba 1
Modelos Lineales

Trabajo para la asignatura de:
“Modelos Lineales”
Presentado por:
Mauricio Huerta Aguiar
Profesor:
Enrique Cabrera

Valpara´ Chile, 31 de Diciembre de 2013
ıso,

´
Indice general

´
1. Pregunta Numero
1.1. Encabezado . .
1.2. Desarrollo . . .
1.2.1. Inciso a)
1.2.2. Inciso b)
1.2.3. Inciso c).
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1
1
1
2
4
5

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6
6
7
7
8
9

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3. Pregunta Numero 3
3.1. Encabezado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10
10
10

1
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´2. Pregunta Numero 2
2.1. Encabezado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Ecuaci´n de Regresi´n para el reba˜o A . . . . . . . . . . . .
o
o
n
2.2.2. Ecuaci´n de Regresi´n para el reba˜o B . . . . . . . . . . . .
o
o
n
2.2.3. M´todo para verificar si las dos l´
e
ıneasdifieren en la pendiente

0

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Cap´
ıtulo 1

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Pregunta Numero 1

1.1 Encabezado
Suponga que las (n + 1) observaciones Y0 , Y1 , · · · , Yn est´n representadas por el moa
delo lineal: Yi = α + βi + i , con i = 0, 1, · · · , n donde los i son variables aleatorias
independientes id´nticamente distribu´
e
ıdas N (0, σ 2 ).(a) Encuentre el ELIVUM de β y escr´
ıbalo en forma conveniente para efectos de c´lculo.
a
(b) Considere el siguiente estimador de β : β ∗ = (Yn − Y0 )/n.
Pruebe que β ∗ es un estimador insesgado y calcule su varianza.
(c) ¿Cu´l estimador usar´ Usted?¿Por qu´?
a
ıa
e

1.2 Desarrollo
Antes de comenzar, tomaremos las siguientes consideraciones:
Modelo: Yi = α + βi + i , con i = 0, 1, · ·· , n
Errores: i = Yi − α − βi, con i = 0, 1, · · · , n, son variables aleatorias independientes
id´nticamente distribu´
e
ıdas N (0, σ 2 )
N´mero de observaciones: n + 1
u
Valores de Xi :Xi = i

1

F´rmulas de inter´s a utilizar en este ejercicio:
o
e
n
i=1

i = n(n + 1)/2

n
2
i=1 i

ˆ
β=(

= (2n + 1)(n + 1)n/6
n
i=1 (Xi Yi )

¯¯
− nX Y )/(

n
2
i=1 (Xi )¯
− nX 2 )

ˆ¯
¯
α = Y − βX
ˆ

1.2.1 Inciso a)
Dado el estimador general de β de Gauss-Markov:
n
¯¯
i=1 Xi Yi − nX Y
n
2
¯2
i=1 Xi − nX

ˆ
β=

(1.1)

Tomando de las consideraciones anteriores que Xi = i, que la cantidad de observaciones
“n”, es en realidad n + 1, y que i = 0, 1, · · · , n, reescribimos nuestro estimador de β como:
ˆ
β=

n
i=0 iYi
n
2
i=0 i

¯¯
−(n + 1)X Y
¯
− (n + 1)X 2

(1.2)

Note que cuando i = 0, las expresiones iYi , y i2 , son iguales a cero, por lo tanto podemos
hacer correr nuestras sumatorias desde i = 1 sin ning´n problema.
u
ˆ
β=

n
i=1 iYi
n
2
i=1 i

¯¯
− (n + 1)X Y
¯
− (n + 1)X 2

¯
Como X = n Xi /(n + 1) (recuerde que nuestra cantidad de observaciones es n + 1), y
i=0
¯
por lo descritoanteriormente esto es equivalente a X = n i/(n + 1). Entonces:
i=1
ˆ
β=
ˆ
β=

(n + 1)( i=1 ¯ (n + 1)
iYi − $$$$ n i)Y /$$$$
n
n
n
$
2
$
$
(n $$
(n $
i=1 i)(
i=1 i)/(n + 1)$ + 1)
i=1 i − $ + 1)(
n
n
¯
i=1 iYi − (
i=1 i)Y
n
n
n
2
i=1 i − (
i=1 i)(
i=1 i)/(n + 1)
n
i=1

Ahora, usando nuestras f´rmulas de inter´s
o
e
1)n/6, nos queda:
ˆ
β=

n
i=1

n
i=1

i =...