ejercicios resuleto de determinantes algebra II

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 6. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

EJERCICIOS RESUELTOS DE DETERMINANTES
1. Calcular los siguientes determinantes:
⎪8 1 0 ⎪
⎪ -5 13 ⎪
a) ⎪
b) ⎪ 3 -1 -1 ⎪
4 -3 ⎪
⎪ 1 3 -4 ⎪
Solución
-5 13 ⎪
a) ⎪
⎪ 4 -3 ⎪= (-5)(-3) – 4.13 = 15 – 52 = -37

⎪8 1 0 ⎪
b) ⎪ 3 -1 -1 ⎪ = 8(-1)(-4) + 1(-1)1 + 0 – 0 – 1.3(-4) – 8.3(-1) = 32 – 1 + 12 + 24 = 67
⎪ 1 3 -4 ⎪

⎛1 0 7⎞
2. Dada la matriz A = ⎜ 0 1 3 ⎟ , calcular:
⎝4 0 1⎠
a) El menor complementario del elemento a21
b) El adjunto del elemento a32
Solución
a) Para calcular el menor complementario del elemento a21, se escribe el determinante de la matriz0 7⎪
eliminando la segunda fila y la primera columna, ⎪
⎪0 1⎪=0
1 7⎪
b) A 32 = (-1)3+2⎪
⎪ 0 3 ⎪ = -3

2 3 -1
1
-1
2
14

⎪
3. Calcular ⎪ 0
⎪ -2

columna

⎪
⎪
⎪

a) Por la regla de Sarrus

b) Desarrollando por la segunda

Solución
2 3 -1
1
-1
2
14

⎪1
1
⎪ = 2 2 4 + 3(-1)(-2) + 0 – (-1) 2 (-2) - 0 - (-2) = 4 + 6 – 1 + 2 = 11
⎪

2 3 -1
1
-1
2
14

⎪
⎪=3A
⎪⎪
a) ⎪ 0
⎪ -2

⎪
b) ⎪ 0
⎪ -2

12

+

1
A + 1 A32
2 22

Calculamos cada uno de los adjuntos:
2 -1 ⎪
A22 = (-1)2+2 ⎪
⎪ -2 4 ⎪ = 8 - 2 = 6

A32

0 -1 ⎪
A12 = (-1)1+2 ⎪
⎪ -2 4 ⎪ = -(0 - 2) = 2
2 -1 ⎪
= (-1)3+2 ⎪
⎪ 0 -1 ⎪ = – (-2) = 2

Y sustituimos en el desarrollo del determinante:
© Proyecto de innovación ARAGÓN TRES

1

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARAESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 6. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

2 3 -1
1
-1
2
14

⎪
⎪0
⎪ -2

⎪
⎪=3A
⎪

12

+

1
1
A22 + 1 A32= 3.2 + 6 + 2 = 6 + 3 + 2 = 11
2
2

4. Escribir las propiedades de los determinantes que nos permiten asegurar que son ciertas lassiguientes igualdades:
a)

4 2 0⎪
⎪4 1 0⎪
1⎪
⎪ 1 2 0 ⎪=⎪ 1 1 0 ⎪
2
⎪ -3 10 -1 ⎪ ⎪ -3 5 -1 ⎪

⎪4 2 2⎪
⎪ -3 1 -1 ⎪
-3 0 7 ⎪ = - ⎪ -3 0 7 ⎪
d) ⎪
⎪ -3 1 -1 ⎪
⎪ 4 2 2⎪

⎪ 4 2 0 ⎪ ⎪ 4 1 -3 ⎪
b) ⎪ 1 2 0 ⎪ = ⎪ 2 2 1 ⎪
⎪ -3 1 -1 ⎪ ⎪ 0 0 -1 ⎪

⎪4 2 2⎪
c) ⎪ 0 0 0 ⎪ = 0
⎪ -3 1 -1 ⎪

⎪ 4 -3 2 ⎪
e) ⎪ 4 -3 2 ⎪ = 0
⎪ -3 1 -1 ⎪

⎪ 4 20 8 ⎪
f) ⎪ 4 20 -1 ⎪ = 0
⎪ -3 -15 -1 ⎪

Solucióna) “Si en una matriz se multiplica una fila (columna) por un número real, el determinante de la
matriz resultante es igual al determinante de la matriz inicial multiplicado por dicho número”.
Se observa que en este caso la segunda columna de la matriz inicial se multiplica por 1/2 para
obtener la segunda columna de la otra matriz.
b) “⏐A t⏐= ⏐A⏐”
c) “El determinante de una matriz con una fila(columna) cuyos elementos son ceros es nulo”.
d) “Si en una matriz se intercambian entre sí dos filas (columnas) el determinante cambia de
signo”.
Se observa que se han intercambiado F1 y F3.
e) “El determinante de una matriz con dos filas (columnas) iguales es nulo”.
Se observa que F1 = F3.
f) “El determinante de una matriz con dos filas (columnas) proporcionales es nulo”.
Se observa queC2 = 5 C1.
5. Decir si las siguientes matrices son regulares y en caso afirmativo calcular su inversa mediante
adjuntos.
⎛ 0 1 3⎞
⎛ 2 1 -1 ⎞
4 2 -3 ⎞
a) A = ⎛
b) A =⎜ 6 -3 0 ⎟
c) A =⎜ -1 0 1 ⎟
⎝ 1 0 -1 ⎠
⎝ -2 3 6 ⎠
⎝ 6 -1 2 ⎠
Solución
a) Al ser una matriz 2 3 no es cuadrada y, por lo tanto no tiene inversa

⎪ 0 1 3⎪
b) ⎪ 6 -3 0 ⎪ = 0 + 54 + 0 -18 + 0 - 36 - 0 = 0
⎪ -2 3 6 ⎪
Alser el determinante igual a cero la matriz no tiene inversa.

© Proyecto de innovación ARAGÓN TRES

2

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 6. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

⎪ 2 1 -1 ⎪
c) ⎪ -1 0 1 ⎪ = 0 + 6 -1 - 0 + 2 + 2 = 9 ≠ 0
⎪ 6 -1 2 ⎪...