Ejercicios sobre ecuaciones diferenciales de primer orden

Ejercicio de La Ley de Enfriamiento de Newton

Se tiene un termómetro con temperatura de 80°C., teniendo en cuenta que la temperatura ambiente es 20°C., tres minutos después la temperatura deltermómetro es 75°C. Hallar la ecuación de enfriamiento para determinar los valores que tomara el termómetro al transcurrir del tiempo.

Datos
Si Tiempo (t)=0
Temperatura (T)=80°C.
Temperatura delmedio (Ta)= 20°C.

Si t= 3min
T= 75°C.
(Ta)= 20°C.

Tomando la ecuación inicial para este tipo de problemas:

dTdt=k(T-20)

dTT-20=k dt

dTT-20=k dt

lnT-20=kt+c

T-20= ekt+c

T=20+cekt

El problema presenta que el momento inicial del experimento T=80°C. Por ello:

80= 20+c

Despejando c, obtenemos:

c=60

Reemplazando c en la ecuación:

T= 20+60ekt

Hallando kteniendo en cuenta cuando t= 3min, T= 75°C. Entonces:

75= 20+60e3k

e3k=8075

k=13*ln1615

k=0.02151

Finalmente, reemplazando k en la ecuación principal:

T= 20+60e0.02151t

Comoresultado obtuvimos la ecuación anterior, la cual servirá como herramienta para determinar los valores que va tomando el termómetro a medida que va pasando el tiempo estando a temperatura ambiente.Ejercicio de Crecimiento Exponencial

Se tiene un cultivo de bacterias que crece en una tasa de proporcionalidad a las bacterias presentes, teniendo en cuenta que transcurridas 3 horas existen 400bacterias, y al pasar 10 horas hay 2000. Cuantas bacterias habían inicialmente?

Datos

Si Tiempo (t)= 3horas
Población (x)= 400

Si t= 10horas
x= 2000

Poblacion inicial (xi)=?

dxdt=kxdxdt-kx=0

e-ktdxdt-e-ktkx=0

d(e-ktx)=0

e-ktx=c

x=ce-kt (*)

Tomando x como xi en un tiempo t=0

xi=cek0

xi=c

Reemplazando c en (*)

x=xiekt

Tomando como referencia alpasar 3 horas existen 400 bacterias, entonces

400=xiekt

x=xie3k

e3k=400xi

3k=ln400xi

k1=13ln400xi

Luego tenemos que al pasar 10 horas existen 2000 bacterias, entonces

2000=xiekt...