Ejercicios

Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıa
Departamento de Matem´tica a

Coordinaci´n de Matem´tica I (MAT021) o a
1er Semestre 2010 Hoja de Trabajo “Derivada 1”

1. Calcule la derivada delas siguientes funciones: (a) f (x) = x3 + 3x2 + 5 (d) f (x) = xπ + x2 ex (g) f (x) = (x3 + 4)(xa − 4x3/2 ) (b) f (x) = 2x4 − 7x1/2 (e) f (x) = x3 + 4 − 4x3/2 (c) f (x) = 2x4 − 7x1/2 (f) f (x) = 3xsen(x) sen(x) ln(x) x3

xa

(h) f (x) = sen(x) cos(x)

(i) f (x) =

2. Calcule las siguientes derivadas. Recuerde que (f ◦ g) = f (g(x)) g (x) (a) f (x) = (x3 + 3x)3 (d) f (x) = sen2 (x) cos3 (x2) (g) f (x) = ax (j) f (x) = xx (b) f (x) = sen4 (x) (e) f (x) = ex sen(x) ln(x3 )
2

(c) f (x) = sen(x4 ) (f) f (x) = 4 tan(x2 )(ln(x) + 5) (i) f (x) = ln(ln(x2 )) (l) f (x) = ln sen(x) xa a x(h) f (x) = π 3x (3x)π (k) f (x) = (x2 + 4)sen(x)

3. Estudie la diferenciabilidad de la siguiente funci´n en el punto x = 2: o   2x + 1  x+3 si si x≤2 x>2

f (x) =

4. Estudie ladiferenciabilidad de la siguiente funci´n en el punto x = 1: o  2  x −1  2x − 2 si si x≤1 x>1

f (x) =

5. Encuentre los valores de a y b de manera que la siguiente funci´n resulte continua ydiferenciable en el punto o x=1   ax − 2  3x − b si si x≤1 x>1

f (x) =

6. Hallar los puntos de la curva y = x3 − x2 en los que la tangente tiene pendiente 1. 7. Considere la funci´n f (x) = x3 − 3x2 − 9x+ 5. o a) Encontrar el(los) punto(s) de la gr´fica de f tal que la recta tangente en dicho(s) punto(s) sea paralela a al eje X. 1

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b) Encontrar el(los) punto(s) de la gr´fica de f donde la recta tangente sea paralela a la recta y = −12x + 4. a c) Encontrar el(los) puntos de la gr´fica de f donde la recta tangente esperpendicular a la recta de ecuaci´n a o 12x − 95y + 95 = 0 d ) Encuentre un punto de la gr´fica de f donde la recta tangente sea y = −9x + 5. a 8. Considere la funci´n f (x) = x2 − 9. o a) Encuentre...